专题1.3 线段的垂直平分线-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

专题1.3 线段的垂直平分线 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理； 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算； 4.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题； 5.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。 知识点01 线段垂直平分线的性质与判定 【知识点】 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 应用：常用来证明两条线段相等 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上 【知识拓展1】利用线段垂直平分线的性质求长度 例1．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是 ___________ ． 【即学即练】 1．（2023春·江苏苏州·八年级期中）如图，在中，垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为14，则的周长为______． 【知识拓展2】利用线段垂直平分线的性质求角度 例2．（2022春·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【即学即练】 2．（2022春·江苏南京·八年级阶段练习）如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【知识拓展3】垂直平分线的判定 例3．32．（2022春·广西南宁·八年级校考期中）小军做了一个如图所示的风筝，其中，，则 是的______线． 【即学即练3】 3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上． 【知识拓展4】复杂的尺规作图 例4．（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”． (1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状； (2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；(3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹． 【即学即练4】 4．（北京市燕山区2022-2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线l上取点A，连接；②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O； ③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小青设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明． 证明：连接，∵线段的垂直平分线交于点O， ∴，（_____________________）（填推理的依据） 又∵，______， ∴，（_____________________）（填推理的依据） ∴，∴． 【知识拓展5】线段垂直平分线的综合运用 例5．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在中，与相交于点F，连结并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【即学即练5】 5．（2022春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是________（填写番号） 知识点02 三角形的垂直平分线 【知识点】 1.三角形三边的垂直平分线的性质定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. 【知识拓展1】三角形的垂直平分线的实际应用 例1．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（    ）． A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【即学即练1】 1．（2022春·厦门·八年级校考期中）如图，、、表