第一章 专题特训(四) 三角函数在四类判断说理问题中的应用-2021-2022学年九年级下册数学【拔尖特训】北师大版

专题特训(四)　三角函数在四类判断说理问题中的应用 类型一 “碰壁”问题 1. 如图,一辆小汽车与墙平行停放着,汽车靠墙一侧 OB与墙MN 平行且距离为0.8m,已知小汽车车 门宽AO 为1.2m,当车门打开角∠AOB 为40° 时,车门是否会碰到墙? 请说明理由(参考数据: sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84). (第1题) 类型二 航线问题 2. 如图,海中有一小岛P,在距小岛162n mile (1n mile=1.852km)的范围内有暗礁,一轮船 自西向东航行,它在A 处测得小岛P 位于其北偏 东60°方向上,且A,P 之间的距离为32n mile,若 继续向正东方向航行,轮船有无触礁的危险? 请 通过计算说明.如果有危险,那么轮船自A 处开 始沿东偏南至少多少度方向航行才能安全通过 这一海域? (第2题) 类型三 噪声污染问题 3. 某校的教室A 位于工地O 的正西方向,且OA= 200m,一台拖拉机从工地O 出发,以5m/s的速 度沿北偏西53°的方向行驶,设拖拉机的噪声污 染半径为130m,则教室A 是否在拖拉机的噪声 污染范围内? 若在,请求出教室A 受噪声污染的 时间;若不在,请说明理由(参考数据:sin53°≈ 0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75). 类型四 工程规划问题 4. (导学号95100030)如图,为了扩大景区范围,某 海城景区在以点O 为圆心,以100m长为半径的 圆形区域内施工,景点A 在点O 的南偏西60°方 向距点O 120m处,景点B 在点O 的正南方向距 点O 120m处,景点C 在点O 的正东方向距点O 120m处,一游客乘船沿着A→B→C 的路线进 行游览,该游客在游览过程中是否会经过施工 区? 请说明理由(参考数据:2≈1.41,3≈ 1.73,5≈2.24). (第4题) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 数学(北师版)九年级下 ∴ AB⊥CD 于点 D.在 Rt△BCD 中,∵ ∠BCD=45°, ∴ ∠CBD=45°,∴ ∠CBD = ∠BCD,∴ BD =CD.在 Rt△BDC中,∵ cos∠BCD=CDBC ,BC=60n mile,∴ CD= BC·cos∠BCD=60× 22 =302 (n mile).∴ BD=CD= 302n mile.在Rt△ADC 中,∵ tan∠ACD=ADCD ,∴ AD= CD·tan∠ACD=302×3=306(n mile).∵ AB=AD- BD,∴ AB=306-302=30(6-2)n mile.∵ 海监船A 的航行速度为30n mile/h,∴ 渔船在B 处需要等待的时间为 30(6-2)÷30=6- 2≈2.45-1.41=1.04(h).∴ 渔船 在B 处大约需要等待1.04h才能获救. (第5题) 点拨:本题考查了方向角、特殊角的三角函数值、等腰直角三角 形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造直角三 角形.学会用转化的思想解决问题,把实际问题转化为解直角 三角形的问题. 6. 22-2 解析:如图,由题意,得AB=CD=4m,∠ABO= 45°,∠CDO=60°.在Rt△OAB 中,OB=AB·cos45°=4× 2 2=22 (m),在Rt△OCD 中,OD=CD·cos60°=4×12= 2(m),∴ BD=OB-OD=(22-2)m.∴ 可供行走的空间被 拓宽了(22-2)m. (第6题) 7. 如图,过点C作CN⊥AM 于点N,则点C,E,N 在同一直 线上.易得CD=EF=MN=1.6m,CE=DF=5m.设BN= xm,x>0,则AN=(x+4)m.在Rt△AEN 中,∠AEN= 45°,易得EN=AN=(x+4)m,∴ CN=CE+EN=5+x+ 4=(x+9)m.在Rt△BCN 中,∠BCN=35°,∴ tan∠BCN= BN CN ,则 x x+9=tan35° ,解得x≈21,BN≈