第02讲 解题要诀、谋定后动 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第02讲 解题要诀、谋定后动 根据・波利亚的解题理论,一个数学问题的求解过程可分为4个阶段:(1)弄清问题;(2)拟定计划;(3)实现计划;4)回顾反思. “弄清问题”,就是我们通常讲的:解好数学题,审题是第一关,审题又分两个方面:“熟悉问题”和“深人理解问题”.“熟悉问题”是分清问题中数据、条件是什么?要解决怎样一个问题?大致上涉及哪些知识?属于哪个数学板块?“深入理解问题”就是要弄清问题所给的条件、结论的实质.将已知条件提供的信息与要解决的问题的联系找出来.通常这是哪一种类型的问题?这类问题的常规解法是怎样的?还有没有可以进一步思考的空间?能不能设计出一个较为理想的解决方案? 如果一个数学问题,已知条件很明显,与结论之间的联系也容易找到,解答当然就不困难,但这种情况可遇不可求,实际情形往往并非如此,许多数学问题中的条件不很明朗，仿佛隐藏着什么,与结论之间的联系无法一下子找到.“拟定计划”还无从入手,所以要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件,使其明朗化,也就是化“隐”为“显”,才能获得对问题的准确理解和正确分析. 在通过审题比较透彻地弄清问题之后,接下来当然是拟定解题计划了.要有一个好的解题计划,思维品质起关键作用.一个完整而优美的解题计划是在大脑高速运转中不断修正而完善起来的,考虑成熟后才动笔,这叫“谋定后动”,“实现计划”就会很顺畅,有水到渠成之感. 当然,要培养谋定后动、直剖核心的能力不可能一蹴而就,一个较为复杂的数学问题的已知条件和待求(证)结论可能来自完全不同的领域,它们之间缺乏联系,甚至毫无公共之处,好像两座高山,中间无路可通,需要通过分析找到它们之间的联系,采用正确的解题方法实施两者之间的转化,这种转化可以是单向的,也可以是双向的,甚至需要多个转化.设计好这种转化线路图,便是数学解题的整个过程中思维方法与战略构想的作用,唐朝诗人王维的一首诗可以用来描述这一过程: 遥爱云木秀,初疑路不同.安知清流转,偶与前山通. 本讲重点讲弄清问题、拟定计划的重要性,至于实现计划与回顾反思则是后话,在后面的几讲中会讲到. 典型例题 【例1】已知方程有4个不相同的实数根,求的取值范围. 【例2】已知函数的二项式系数为,且不等式的解集为. (1)若方程有两个相等的根,求的解析式; (2)若的最大值为正数,求的取值范围. 【例3】设各项均为正数的数列的前项和为. (1)若,求数列的通项公式; (2)若为常数),且,求数列的通项公式; (3)若为常数),且,求数列的通项公式; (4)若为常数),且,求证:为等差数列. 【例4】(1)已知定点,点为椭圆的右焦点,点在椭圆上移动时,求的最大值; (2)在椭圆上是否存在一点到直线的距离最大?若存在,求出最大距离;若不存在,请说明理由; (3)设是椭圆的左、右焦点,弦过,求面积的最大值; (4)这4点都在椭圆上,为椭圆在轴上的焦点.已知与共线,与共线,且,求四边形的面积的最小值和最大值. 【例5】设椭圆. (1)求直线被椭圆截得的线段长(用表示); (2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 强化训练 1.已知. 求证:,其中. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 解题要诀、谋定后动 根据・波利亚的解题理论,一个数学问题的求解过程可分为4个阶段:(1)弄清问题;(2)拟定计划;(3)实现计划;4)回顾反思. “弄清问题”,就是我们通常讲的:解好数学题,审题是第一关,审题又分两个方面:“熟悉问题”和“深人理解问题”.“熟悉问题”是分清问题中数据、条件是什么?要解决怎样一个问题?大致上涉及哪些知识?属于哪个数学板块?“深入理解问题”就是要弄清问题所给的条件、结论的实质.将已知条件提供的信息与要解决的问题的联系找出来.通常这是哪一种类型的问题?这类问题的常规解法是怎样的?还有没有可以进一步思考的空间?能不能设计出一个较为理想的解决方案? 如果一个数学问题,已知条件很明显,与结论之间的联系也容易找到,解答当然就不困难,但这种情况可遇不可求,实际情形往往并非如此,许多数学问题中的条件不很明朗，仿佛隐藏着什么,与结论之间的联系无法一下子找到.“拟定计划”还无从入手,所以要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件,使其明朗化,也就是化“隐”为“显”,才能获得对问题的准确理解和正确分析. 在通过审题比较透彻地弄清问题之后,接下来当然是拟定解题计划了.要有一个好的解题计划,思维品质起关键作用.一个完整而优美的解题计划是在大脑高速运转中不断修正而完善起来的,考虑成熟后才动笔,这叫“谋定后动”,“实现计划”就会很顺畅,有水到渠成之感. 当然,要培养谋定后动、直剖核心的能力不可能一蹴而就,一个较为复杂的数学问题的已知条件和待求(证)结论可能来自完全不同的领域,它们之间缺乏联系,甚至毫无公