第05讲 活用策略、借石攻玉 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第05讲 活用策略、截石攻玉 ・波利亚指出:“一般来说,一道题目如果可以通过将特殊数据代人某一道以前解过的一般题目中来解或者按照某一道陈旧而明显的例子依样画葫芦,而无需一丝一毫地独创,那么这道题目就是一道常规题目”“教授数学时可能需要一些常规题目,有时甚至需要许多常规题目”“但是不让学生去做其他类型的题目是不可原谅的”“寻找适用于所有类型的题目的万能规则,是一个古老的哲学梦想,而这个梦想将永远只有梦想罢了." 显然高考数学压轴题并非是常规题目,依样画葫芦的常规解题套路根本无法解决此类难题,需要活用形式多样、丰富多彩的分析才能奏效.・波利亚指出:“求解一个问题的重要方式是构造出一个解题计划的思路”“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻克堡垒,为了辨别哪一条思路正确,哪一方向可以接近它,就要试探各种方向和各种思路.”解题的思路主线往往不易一下子抓住,需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真的分析、加工、改造,从不同方向探索,以不同的角度审视, 在广阔的范围内选择思路和策略.正确的解题思路和策略的确定非常重要,正如法国生理学家贝尔纳所言:“良好的方法使我们能够更好地发挥运用天赋的才能,而拙劣的方法则会抑制才能的发挥." 比较常用的解决压轴题的策略有正难则反,整体处理,进退自若、归纳猜想、推理论证、类比推广、阅读迁移,构造建模等. 活用分析,首要任务是优化思维、展开想象、激发灵感、借石攻玉.其中相似联想非常重要,相似联想就是由问题的已知条件或结论,联想到与其相似的数学定义、定理、公式和图形等,从而把要解决的某个问题的原则和方法迁移到相似的问题上,在这个新问题的知识领域内运用最为基本的解题方法加以攻克.这样,往往可使难题化为简单的问题,生疏的问题化为熟悉的问题,从而达到正确而迅速解题的目的,而且不同的相似联想可以产生多种不同的解法,常常是别开生面,意想不到又合情合理的. 典型例题 【例1】函数的最大值为________. 【例2】已知均为正数,且,求证:. 【例3】设是实系数方程的虚根,并且它们的立方是实数，求的值. 【例4】已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围； （3）设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围. 强化训练 1.设椭圆中心在坐标原点是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点,求四边形面积的最大值. 2.已知数列满足,且. (1)求数列的通项公式; (2)求证:对于一切正整数,不等式恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 活用策略、截石攻玉 ・波利亚指出:“一般来说,一道题目如果可以通过将特殊数据代人某一道以前解过的一般题目中来解或者按照某一道陈旧而明显的例子依样画葫芦,而无需一丝一毫地独创,那么这道题目就是一道常规题目”“教授数学时可能需要一些常规题目,有时甚至需要许多常规题目”“但是不让学生去做其他类型的题目是不可原谅的”“寻找适用于所有类型的题目的万能规则,是一个古老的哲学梦想,而这个梦想将永远只有梦想罢了." 显然高考数学压轴题并非是常规题目,依样画葫芦的常规解题套路根本无法解决此类难题,需要活用形式多样、丰富多彩的分析才能奏效.・波利亚指出:“求解一个问题的重要方式是构造出一个解题计划的思路”“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻克堡垒,为了辨别哪一条思路正确,哪一方向可以接近它,就要试探各种方向和各种思路.”解题的思路主线往往不易一下子抓住,需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真的分析、加工、改造,从不同方向探索,以不同的角度审视, 在广阔的范围内选择思路和策略.正确的解题思路和策略的确定非常重要,正如法国生理学家贝尔纳所言:“良好的方法使我们能够更好地发挥运用天赋的才能,而拙劣的方法则会抑制才能的发挥." 比较常用的解决压轴题的策略有正难则反,整体处理,进退自若、归纳猜想、推理论证、类比推广、阅读迁移,构造建模等. 活用分析,首要任务是优化思维、展开想象、激发灵感、借石攻玉.其中相似联想非常重要,相似联想就是由问题的已知条件或结论,联想到与其相似的数学定义、定理、公式和图形等,从而把要解决的某个问题的原则和方法迁移到相似的问题上,在这个新问题的知识领域内运用最为基本的解题方法加以攻克.这样,往往可使难题化为简单的问题,生疏的问题化为熟悉的问题,从而达到正确而迅速解题的目的,而且不同的相似联想可以产生多种不同的解法,常常是别开生面,意想不到又合情合理的. 典型例题 【例1】函数的最大值为________. 【分析】 本例的求解条件仅为所给出的函数解析式,分析这一解析式的特点可以产生多种联想,进而得到多种解法. 【解析】 【解法一】(利用三角函数的有界