第11讲 几个重要的不等式 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第11讲 几个重要的不等式 1 多元均值不等式 若,则,当且仅当时取等号,其中为的算术平均数，为的几何平均数. 2 柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当时取等号. (2)一般形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当,或时取等号. 3 柯西不等式的向量形式及平面三角不等式 (1)柯西不等式的向量形式:设是两个向量,则,当且仅当或存在实数,使时取等号. (2)平面三角不等式:设,则 4 排序不等式 设为两组实数,为的任意排列,那么,即反序和不大于乱序和,乱序和不大于顺序和. 当且仅当或时取等号. 典型例题 【例1】证明柯西不等式. 【例2】(1)有小于1的个正数,且. 强化训练 1.(1)已知,则的最小值为 . (2)设,且满足,则 . 2.(1)求使直线和椭圆有公共点的的取值范围; (2)已知直线与双曲线相切,求切线方程和切点坐标. 3.(1)设,求的最小值; (2)已知为的一个排列,求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 几个重要的不等式 1 多元均值不等式 若,则,当且仅当时取等号,其中为的算术平均数，为的几何平均数. 2 柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当时取等号. (2)一般形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当,或时取等号. 3 柯西不等式的向量形式及平面三角不等式 (1)柯西不等式的向量形式:设是两个向量,则,当且仅当或存在实数,使时取等号. (2)平面三角不等式:设,则 4 排序不等式 设为两组实数,为的任意排列,那么,即反序和不大于乱序和,乱序和不大于顺序和. 当且仅当或时取等号. 典型例题 【例1】证明柯西不等式. 【分析】 证明柯西不等式的方法很多,其中向是法与构造法是高中数学中的常见证法,介绍如下,有利于学生开阔解题思路、提升解题能力. 【证法1】 (向量法:将平面向量、空间向量推广到维向量)令 ,则,由于1,故.等号成立的条件是共线,即. 【证法2】 (构选二次函数法)若,则柯西不等式显然成立.若不全为零, 令.一方面,因为 另一方面,由恒成立 ,此即柯西不等式. 由(1)式知等号成立的条件为. 【例2】(1)有小于1的个正数,且. 【分析】 第问,每一个均为内的正数,由可联想到均值不等式,从而需要对原式中每一项进行放缩,得到乘积的形式,也可构选出柯西不等式的形式,利用柯西不等式来证明.第(2)问,同样可以运用上述两种证法,在运用均值不等式时首先䨐要对所证不等式通过拆分、构造、再合成的过程. (1)【证法1】 (均值不等式法) 又 【证法2】 （柯西不等式法）由柯西不等式可得 又 又 (2)【证法1】 (均值不等式法)上述不等式相加，即得 【证法2】(柯西不等式法)由柯西不等式可得 .已知为正数，且，求证: 【分析】 运用排序不等式解题,苜先要指两个数组的大小关系明确出米,分清顺序和、乱序和及反序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可. 由顺序和乱序和得① 又由乱序和反序和得② 由①②两式得 强化训练 1.(1)已知,则的最小值为 . (2)设,且满足,则 . 【解析】(1)由柯西不等式得, 即,当且仅当时等号成立,所以的最小值为12. (2)由柯西不等式得, 当且仅当时等号成立.此时. . . 2.(1)求使直线和椭圆有公共点的的取值范围; (2)已知直线与双曲线相切,求切线方程和切点坐标. 【解析】(1)由柯西不等式得 , 解得,即或, 因为,所以或. (2)由柯西不等式得 当且仅当,即时,,此时,由得. 切线方程为或,切点坐标为 3.(1)设,求的最小值; (2)已知为的一个排列,求证:. 【解析】(1)【解法一】 (柯西不等式法)原式,所以的最小值为. 【解法二】 (均值不等式法). ,即原式. 当且仅当时,的最小值为9. (2)证明:根据的对称性,可设有. 为的一个排列,则由排序不等式可得 ,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $