第13讲 巧用直线系、圆系方程解题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第13讲 巧用直线系、圆系方程解题 曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线,其中最简单的是具有某种性质的直线方程和圆系方程,介绍如下. 1直线系方程 (1)与直线平行的直线系方程为为参数). (2)与直线垂直的直线系方程为为参数). (3)过直线与的交点的直线系方程为 (不含为参数). 2圆系方程 (1)过圆与直线交点的圆系方程为为参数). (2)过圆与圆的圆系方程为(不包括圆为参数． 当时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线). (3)若表示圆上任意一点,则曲线系方程:为参数表示与相切于点的所有圆. 巧用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值,从而求出需求的结果. 典型例题 【例1】(1)经过点的一条动直线分别交轴、y轴于两点,设为的中点,联结并延长到,使,求点的轨迹方程; (2)求过直线和的交点,且与直线垂直的直线的方程. 【例2】(1)求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程; (2)求过两圆与与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程; (3)求圆心在直线上,且过两圆交点的圆的方程; (4)求与圆切于点,且过点的圆的方程. 【例3】(1)判断方程为参数,表示何种曲线?找出通过定点的坐标; (2)直线系,直线系中能组成正三角形的面积等于 . 强化训练 1.(1)求经过两直线的交点,且平行于直线的直线方程; (2)求经过两圆与的交点,且圆心在直线上的圆的方程. 2.(1)在四边形中,对角线平分,在上取一点与相交于,延长交于.求证:; (2)已知圆,问:是否存在斜率为1的直线,使直线被圆截得的弦为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 巧用直线系、圆系方程解题 曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线,其中最简单的是具有某种性质的直线方程和圆系方程,介绍如下. 1直线系方程 (1)与直线平行的直线系方程为为参数). (2)与直线垂直的直线系方程为为参数). (3)过直线与的交点的直线系方程为 (不含为参数). 2圆系方程 (1)过圆与直线交点的圆系方程为为参数). (2)过圆与圆的圆系方程为(不包括圆为参数． 当时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线). (3)若表示圆上任意一点,则曲线系方程:为参数表示与相切于点的所有圆. 巧用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值,从而求出需求的结果. 典型例题 【例1】(1)经过点的一条动直线分别交轴、y轴于两点,设为的中点,联结并延长到,使,求点的轨迹方程; (2)求过直线和的交点,且与直线垂直的直线的方程. 【分析】 第(1)问,可以创造性地构造两条过定点的直线,再利用直线系方程求解;第(2)问,求过两直线交点且与另一直线垂直的直线方程,常规解法是通过联立方程组求其交点,再由与另一直线垂直确定所求直线的斜率,利用点斜式得直线方程.若运用直线系求解,则更简洁.通过垂直的直线系方程来解,需要解方程组求交点,若利用过两直线交点的直线系方程,可以避免解方程组的过程. 【解析】 (1)点为两条直线和的交点,则过点的直线系方程为(不包括直线,于是得, ,设点的坐标分别为和,则 点为的中点,由中点坐标公式得,消去参数得点的轨迹 方程为. 即. (2)【解法1】(常规解法)由得与的交点坐标为. 直线的斜率为一直线的斜率为4. 因此满足条件的直线的方程为:,即. 【解法2】(利用垂直直线系解）直线垂直于直线, 可设直线的方程为. 与的交点为,从而. 直线的方程为. 【解法3】（利用过两直线交点的直线系解）由于直线过与的交点, 可设直线的方程为,即 与直线垂直,,从而 直线的方程为. 【例2】(1)求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程; (2)求过两圆与与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程; (3)求圆心在直线上,且过两圆交点的圆的方程; (4)求与圆切于点,且过点的圆的方程. 【分析】 若所求的圆过一直线与一圆的交点或过两已知圆的交点,当然可以运用直接法求交点,再设所求的圆方程为标准方程或一般方程,把交点坐标代入且由另一个条件(圆方程的确定需要3个条件)得方程组解之求或,但运算量肯定比挍大,若巧用圆系方程解题则方便许多.第(4)问,直接套用与圆相切于一点的圆系方程,是个好方法. 【解析】 (1)【解法1】 （常规解法）由已知条件,所求圆一定是以直线被圆截得的弦为直径的圆. 故由方程组解得直径的两端点分别为, .线段的中点为即所求圆的圆心,,则 半径. 【解法2】(利用圆系方程解)过直线