第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题 应用曲线系方程解题,即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程,,然后根据题中的其他条件,通过推理,运算求出曲线系方程中的参数值,从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦,既减少了计算量,又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法.当然,由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高,在高中数学竞赛中运用较为广泛,本讲对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结. 圆锥曲线系方程: (1)共顶点圆锥曲线系方程为参数). (2)共渐近线双曲线系方程为参数,. (3)共焦点圆锥曲线系方程:为焦半径,为参数). 当时,表示共焦点椭圆系;当一时,表示共焦点双曲线系;当时,无轨迹. (4)共离心率圆锥曲线系方程为参数,). (5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若是有4个交点的二次曲线,则 是过的交点的圆雉曲线系,其中不包括为参数). (6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若与圆锥曲线有4个交点, 则方程为过4个交点的圆锥曲线系方程. 典型例题 【例1】(1)求渐近线方程为,焦点为椭圆的一对顶点的双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线,且与直线相切的标准双曲线方程. 【例2】讨论方程所表示的曲线. 【例3】已知圆和双曲线,求通过它们的4个交点和点的二次曲线方程. 【例4】一条圆锥曲线过点,切直线于点,切直线于点,求它的方程. 【例5】(1)(蝴蝶定理)过圆弦的中点,任意作两弦和和交弦于,求证:; (2)是圆的一条定弦,为上的定点,过点作圆的两条弦和 ,弦和交于点,弦与交于点 求证: 【例6】已知任意二次曲线是曲线的弦,是的中点,过点任意作弦、,过点另作一条任意二次曲线,如果曲线与直线交于点、,求证: 【例7】(1)4条直线围成一个四边形,问取何值时,该四边形有一个外接圆,并求出外接圆的方程; （2)已知椭圆与双曲线有4个交点,求证:此4个交点共圆,并求出此圆的中心坐标. 【例8】求过这5点的二次曲线方程. 【例9】已知点为椭圆上异于点的任意两点,且若点在线段上的射影为,求点的轨迹方程. 强化训练 1. 求与抛物线相切于点两点,且过点的圆锥曲线方程. 2.设是双曲线上两点,是线段的中点,线段的垂直平分线交双曲线于两点. (1)确定实数的取值范围; (2)试判断点是否共圆?说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题 应用曲线系方程解题,即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程,,然后根据题中的其他条件,通过推理,运算求出曲线系方程中的参数值,从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦,既减少了计算量,又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法.当然,由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高,在高中数学竞赛中运用较为广泛,本讲对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结. 圆锥曲线系方程: (1)共顶点圆锥曲线系方程为参数). (2)共渐近线双曲线系方程为参数,. (3)共焦点圆锥曲线系方程:为焦半径,为参数). 当时,表示共焦点椭圆系;当一时,表示共焦点双曲线系;当时,无轨迹. (4)共离心率圆锥曲线系方程为参数,). (5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若是有4个交点的二次曲线,则 是过的交点的圆雉曲线系,其中不包括为参数). (6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若与圆锥曲线有4个交点, 则方程为过4个交点的圆锥曲线系方程. 典型例题 【例1】(1)求渐近线方程为,焦点为椭圆的一对顶点的双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线,且与直线相切的标准双曲线方程. 【分析】 当已知双曲线的渐近线方程为或)时,可设双曲线的方程为或(其中为不等于零的待定常数,以简化运算过程,这里方程且)称之为与双曲线共渐近线的双曲线系,为解题带来方便. 【解析】 依题意,可设双曲线的方程为是正实数),当双曲线的焦点为椭圆的 长轴的顶点,即与时,由,可得,双曲线的方程为; 当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即与时,双曲线的方程为 是正实数),即. 双曲线的方程为 (2)【解法1】 (利用共渐近线双曲线系方程结合判别式法) 设所求双曲线的方程为, 此双曲线与直线相切,且显然其渐近线都不平行于直线 由方程组消去,得,其判别式 ,解得. 故所求双曲线的标准方程为,即. 【解法2】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法) 设所有双曲线的方程为,即, 设其与直线相切的切点为, 则切线方程为有.代人双曲线方程中并化简得,故所求双曲线的标准