第17讲 引参方程与参数方程 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第17讲 引参方程与参数方程 在解题过程中,通过引入一个或几个新变量来代替原式中某些景以实现变量替换,从而使问题得以解决.这种解题方法叫作引参换元法,又称辅助元素法,引参换元的理论依据是等量代换. 引参换元的关键是实施未知量或变量的替代,替代关系的确定常有以新元代旧元、以新元替旧式、䟼旧元以新式,以新式替旧式这几种.引参换元可以把分散条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来,或者把陌生的形式变换为熟悉的形式,把繁难的计算和推理论证简化,从而达到化难为易、化䇣为简、化未知为已知的目的,以利于问题的解决.引参换元时一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用,适时限定条件以符合原未知数取值范围的要求. 引参换元的基本步骤如下: （1）把原问题中的某个式子或几个式子分别看成一个整体; （2）引入新字母或新式代替这些式子,使以新元或新式为基础的问题较为简洁易解； (3)对以新元或新式为基础的问题进行解答,得出结果; (4)再代回原来的式子中求出原变量的结果. 引参换元通常有三角换元、线性换元、自身换元、整体换元、增量换元、均值换元、求和换元、常量换元等多种形式,引参换元广泛运用于求解方程、因式分解、求函数的值域或最值,恒等式或不等式的证明、坐标变换、数列等,是数学解题中应用最为广泛的一种方法.正如G・波利亚所说的:“引人辅助元是引人注目的一步,人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时,他会绕过去;当原来的问题看起来似乎不好解时,就会想出一个合适的辅助问题,构想一个辅助问题是一项重要的思维活动." G・波利亚还认为,引入辅助元素可“使问题的概念更完整,更富有启发性,更为人所熟悉",是个“好念头”.因此,当问题的条件和结论不易发生关系或关系不明朗时,借助辅助元素一一参数为桥梁或探测器,可使条件和结论联结起来,关系明朗,问题可解,这就是参数思想的基本点. 参数思想解题的特征是:引人参数,参与推导;消去参数,显露结论. 参数思想在解析几何内容中占有很重的分量,直线方程、圆锥曲线方程的一般形式中的字母系数都可看作参数,应用参数方程解题更是解析几何研究中的重头戏,方法灵活、独树一帜. 典型例题 【例1】若为正实数,且求证: 【分析】 考虑到条件是,可实施均值代換:,代入可使式子利用非负值方法求证. 【证明】 令,且,则 . 【例2】是方程的两个根,求证:对一切自然数都是偶数. 【分析】 由两根之和之积为定值,可运用和差代换,拈合二项式定理证之. 【证明】 由根与系数关系得:. 故令,由得. . 因此,都是偶数. 【例3】(1)已知,求的最值; (2)在中,分别是角的对边,设,求的值. 【分析】 第(1)问,二元函数转变为一元函数,由条件,考虑三角换元能实现降元的目标;第(2)问,通过均值换元可将三元降为二元、二元降为一元.从而达到变慜为简,化难为易、化末知为已知的数学解题策咯. 【解析】 (1)令,则. 又 ∴当时,; 当时,. (2)∵,可设,即. ∴. 由,根据正弦定理可得. ∴,故 ∵ 则. 因此. 【例4】(1)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点在以为圆心的圆弧上运动,若,其中,则的最大值为;的取值范围是. (2)在扇形中,为弧上的一个动点,若,则的取值范围是. 【分析】 本例两小题可以有多种解法,若建立平面直角坐标系,设动点的$标为三角形式,则是一种非常巧妙的解法. 【解析】 (1)如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系.则,设,则. 由于. 根据,得到从而 故, 当时,. 又 ∴,即. (2)如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则.设,则. 由,得从而 则.易知. 故在上单调递增,而, 故. 【例5】(1)如图所示,已知在矩形中,点,点在曲线上移动,且两边始终分别平行于轴、y轴.求使矩形的面积最小时点的坐标; (2)如图所示,已知曲线.点在曲线上移动,点的坐标为,以为对角线作矩形,使轴,轴,求矩形面积最小时点的坐标. 【分析】 第（1）问,令,则原问题可转化为三角函数求最小值;第(2)问,今.此时两小题的解析式都出现了及的形式,再令进行第二次换元,将所求的问题转化为二次函数最值的问题,充分体现了“设参换元”的战术构想,当然“设参换元”后要注意前后新旧变元取值范鷗的不同. 【解析】 (1)设, 则 令,则,其中. 于是,有. 当时,的最小值为.此时 得点的坐标为或. (2)设, 则 令,则,其中. 于是,有,从而可得,当时,有最小值.此时点的坐标为. 【例6】(1)函数的最大值是 (2)将边长的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则的最小值是. (3)设是正实数,且,求证:. 【分析】 第(1)问,可认借助三角换元发现所给