第19讲 正难则反与反证法 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第19讲 正难则反与反证法 正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。 正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套. 中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题， 在数学学习中应加强逆向思维的训练，注意以下几点： (1)数学命题中，定理不一定可逆，但定义总是可逆的，应当学会从正反两个方面运用定义，提升数学思维的灵活性的水平. (2)注意公式的逆用.逆用公式与顺用公式同等重要，有时将公式反用或适当改变公式形式再用，往往能收到化繁为简的效果. (3)对数学常规问题提法与推断进行逆向思考. (4)注意解题中的可逆性原则. 正难则反分析体现得最完美的是反证法， 证明一个数学命题，当直接证法难以实施时，则可考虑用反证法这一间接证法.但话说回来，何谓反证法? 一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法.反证法是一种最常见的证明方法，成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法。 反证法一般采用下述3个步骤. （1）假设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立(一个或几个，视需要而定）. (2）归谬：利用假设及题设条件，运用正确的逻辑推理，导出下面所列5种错误的结论之一：①结论与已知知识相矛盾；②结论与已知条件相矛盾；③结论与（1)步中提出的假设相矛盾；④引出两个互相矛盾的结论；⑤结论就是原结论. (3）结论：根据排中律，即在同一论证过程中，命题“P”和命题“非P”有一个且仅有一个是正确的，可知原结论成立. 在应用反证法证题时，必须严格按“假设一归谬一结论”的思路进行，3个部分缺一不可，当然，运用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.数学家哈代说过：“反证法是数学家最精良的武器.”数学教育家G·波利亚则说：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立，归谬法是个数学过程，但它和讽刺家所爱好的做法——反话——有几分相似，用反话很明显地采纳某个见解，但强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误.” 反证法主要用来解决如下类型的数学问题. （1）否定性命题：用直接法往往难以下手，而用反证法常常出奇制胜， （2）唯一性命题：结论以“……唯一”的形式出现，可考虑用反证法证明. （3）“至多”“至少”类命题：结论以“至多……”或“至少……”形式出现，可考虑用反证法证明. (4）某些不等式或等式证明：运用反证法书写相对简洁. （5）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象，(6）命题结论的反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手，而反证法容易上手. 典型例题 【例1】已知3个方程 中至少有一个方程有实根,求实数的取值范围. 【例2】解方程. 【例3】（1）设数列是公比为的等比数列,是