第20讲 数学归纳法 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第20讲 数学归纳法 归纳法是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的方向，它是一种由个别到一般、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的认识手段和模式. 归纳法分类： 1.不完全归纳法 不完全归纳法是指通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考察而概括出该类事物的一般性结论的方法,前提和结论之间未必有必然的联系,由不完全归纳法得出的结论只有或然的性质,结论不一定正确,还需要经过严格的逻辑论证和实践的检验. 2.完全归纳法 完全归纳法是指通过对某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况的研究而概括出关于事物的一般性结论的方法,正确的前提必然能得出正确的结论,所以完全归纳法可以作为数学中严格证明的工具,在数学解题中有广泛的应用.完全归纳法包括枚举归纳法和数学归纳法等. （1）枚举归纳法:将所涉及的研究对象一一列举出来进行研究的方法.这种方法主要适用于研究对象的范畴较小的情况,如整数问题中只需按奇偶数两种情况研究,三角形问题中对形状只需分锐角、直角、钝角3种情况讨论. （2）数学归纳法:一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.华罗庚先生说:“把数学归纳法学好了,对进一步学好高等数学有帮助,甚至对认识数学的性质,也会有所裨益."数学归纳法可以用“多米诺骨牌现象”进行形象地说明:推倒头一块“骨牌”,它会带倒第二块,再带倒第三块…...直到所有“骨牌”全部倒下,把骨牌想象为一系列无穷多个编了$了号的命题:假定能㶴证明： (奠基)最初的一个命题正确; （过渡)由每一个命题的正确性可以推出它的下一个命题的正确性,那么我们便证明了这一列命题的正确性.事实上,我们已会“推倒头一块骨牌",即证明最初的一个命题成立(所谓“奠基"),而“过渡”则意味着“每一块骨牌在倒下时都将带倒下一块骨牌”,这样一来,并不需要特别强调应推倒哪一块骨牌,事实上,只要头一块一旦倒下,那么这一列中的任何一块骨牌都或迟或早必然倒下. 因此可得数学归纳法的基本形式: 第一数学归纳法:设是一个关于正整数的命题,如果(i)成立;(ii)假设成立,则也成立,那么,对任意正整数都成立. 第二数学归纳法:设是一个关于正整数的命题,如果(i)(1)成立;(ii)假设对所有适合的正整数成立,则成立,那么,对任意正整数都成立. 归纳法帮你猜想解题思路,归纳与猜想对数学解题是一件锐利的武器,但也是一件危险的武器,所作的猜想仅仅对有限种情况进行了验证,根据有限种情况作出的猜想未必都正确,所以需要用数学归纳法证明猜想的正确性,于是有了“归纳一猜想一证明”类题型.正如G・波利亚所说:“先猜,后证一一这是大多数的发现之道."同样,数学问题也需要猜想,甚至是“大胆猜想”,尽管由归纳推理所得的猜想未必可靠，还需进一步检验，但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现都是十分有用的,观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出猜想,乃是科学研究的最基本的方法之一.猜想应尽量猜之有据,归纳则是形成猜想的有效途径之一.正如G・波利亚指出的:“数学归纳法是一种论证方法,通常用来证明数学上的猜想,而这种猜想是我们用某种归纳方法所获得的.” 典型例题 【例1】若数列的通项公式为. 证明:对任意的,不等式成立. 【例2】已知函数与函数的图像关于直线对称. (1)在数列中,,当时,,在数列中,,若点在函数的图像上,求的值; (2)在(1)的条件下,过点作倾斜角为的直线,若在轴上的截距为,求数列的通项公式. 【例3】函数,定义数列如下:是过两点, 的直线与轴交点的横坐标.试证明. 【例4】对于锐角,定义数列: 求证:对一切正整数,均有. 【例5】证明:对于一切自然数都有. 【例6】设数列的前项和为,满足,且. (1)求的值; (2)求数列的通项公式. 强化训练 1.已知函数的最大值不大于,又当时,. (1)求的值； (2)设,证明. 2.设为常数,且. (1)证明:对任意; (2)假设对任意,都有,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 数学归纳法 归纳法是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的方向，它是一种由个别到一般、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的认识手段和模式. 归纳法分类： 1.不完全归纳法 不完全归纳法是指通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考察而概括出该类事物的一般性结论的方法,前提和结论之间未必有必然的联系,由不完全归纳法得出的结论只有或然的性质,结论不一定正确,还需要经过严格的逻辑论证和实践的检验. 2.完全归纳法 完全归纳法是指通过对某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况的研究而概括出关于事物的一般性结论的方法,正确的前提必然能得出正确的结论,所以完全归纳法可以作为数学中严格证明的工具,在数学解题