第24-25讲 以二次函数为背景的函数综合题 以指数、对数函数为背景的函数综合题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第24讲以二次函数为背景的函数综合题 二次函数是初中代数的基本内容之一,但是在高考中,以二次函数为背景的综合题也频繁出现,这寔因为它虽然简单却具有丰富的内涵和外延,我们可以以它为素材研究函数的奇偶性、单调性、最值等函数的重要性质,可以建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系,讨论方程根的分布、含参数不等式恒成立等问题,作为其图像拋物线可以与其他平面曲线在同一直角平面内讨论相互之间的关系,二次函数与其他初等函数的综合可以编制出层出不穷、灵活多变的高考压轴题. 函数与方程,不等式是高中数学中的一个重要的知识交汇点,题型精彩纷呈,数学思维极其活跃,特别是3个二次之间的依存关系及其转化,函数思想与方程理论必然会迸发出灿烂的火花. 典型例题 【例1】已知函数. (1)当时,求函数在上的最小值的表达式; (2)已知函数在上存在零点,,求的取值范围. 【例2】已知. (1)若,求方程的解; (2)若关于的方程在上有两个解,求的取值范围;并证明:. 强化训练 1.已知函数在区间上有最大值4和最小值1,设. (1)求的值; (2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围; (3)方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围. 第25讲以指数、对数函数为背景的函数综合题 以指数对数函数为背景的函数综合题具体地讲有两大类:一是与指数函数有关的复合函数问题;二是与对数函数有关的复合函数问题,当然也包括指数函数与对数函数知识的交汇与综合. (1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,要注意运用指数、对数函数的图像与性质等知识和研究函数的性质的思想方法来分析解决问题,指数函数和对数函数的图像与性质都受底数的影响,解决与函数单调性相关问题首先要看底数的范围. (2)涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间,利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”. (3)指数函数、对数函数与二次函数相结合的复合函数的性质考查是重要题型,注意复合函数单调性的判断方法,尤其注意对数函数中真数大于0的条件. (4)与指数函数,对数函数有关的鿏合函数的最值,若复合函数又是二次函数型,往往可以转化为二次函数的最值并结合指、对数函数性质加以讨论. (5)解决与指数函数、对数函数有关的问题,要注意数形结合思想的运用. (6)在给定条件下,求复合函数字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用. 典型例题 【例1】已知函数,函数的图像与函数的图像关于直线对称. (1)求的解析式; (2)讨论在内的单调性,并加以证明; (3)令,当时,在上的值域是,求的取值范围. 【例2】已知函数且). (1)证明:函数的图像在轴的一侧; (2)设是的图像上两点,证明:直线的斜率大于0; (3)求函数与的图像的交点坐标. 强化训练 1.已知函数为偶函数. (1)求常数的值; (2)当取何值时,函数的值最小?并求出的最小值; (3)设,试根据实数的取值,讨论函数与的图像的公共点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲以二次函数为背景的函数综合题 二次函数是初中代数的基本内容之一,但是在高考中,以二次函数为背景的综合题也频繁出现,这寔因为它虽然简单却具有丰富的内涵和外延,我们可以以它为素材研究函数的奇偶性、单调性、最值等函数的重要性质,可以建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系,讨论方程根的分布、含参数不等式恒成立等问题,作为其图像拋物线可以与其他平面曲线在同一直角平面内讨论相互之间的关系,二次函数与其他初等函数的综合可以编制出层出不穷、灵活多变的高考压轴题. 函数与方程,不等式是高中数学中的一个重要的知识交汇点,题型精彩纷呈,数学思维极其活跃,特别是3个二次之间的依存关系及其转化,函数思想与方程理论必然会迸发出灿烂的火花. 典型例题 【例1】已知函数. (1)当时,求函数在上的最小值的表达式; (2)已知函数在上存在零点,,求的取值范围. 【分析】 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能カ、分类讨论等分析问题和解决问题的能カ,难点在第(2)问,是与二次函数零点相关的参数范围问题,有多种分析,比如运用方程根与系数的关系转化为解不等式求的取值范图;比如双变量转化为单变量,转化为求函数值域问题;比如参变分离法求解;还可运用数形结合的方法. 【解析】 (1)当时, ,故对称轴为直线 当时, 当时, ; 当时, . 综上, (2)【解法一】 (韦达定理结合不等式的基本性质) 设为方程的解,且,则，, 由于,因此 当时 由和,可得. 当时, , 由和,可得. 故的取值范围是. 【解法二】（