第28讲 用导数研究函数的极值、最值、实际应用中的优化问题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第28讲 用导数研究函数的极值、最值、实际应用中的优化问题 1.用导数研究函数的极值 求可导函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域. (2)求导数. (3)求方程的根. (4)检验在方程根左右值的符号,求得极值(若左正右负,则在这个根处取极大值;若左负右正,则在这个根处取极小值). 2.用导数研究函数的最值 设在上连续,在内可导,求函数在上的最值的步骤: (1)求函数在内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值. (3)将函数的各极值与比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 3.用导数研究实际应用中的优化问题 (1)利用导数解决实际应用中优化问题的一般步骤: 1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系,并确定其定义域. 2)求函数的导数,解方程. 3)比较函数在区间端点和使的点数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (2)解决实际应用中优化问题必须注意以下两点： 1)求实际问题中的最大(小)值,一定要注意实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去. 2）用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,就不用与端点值比较,也可以知道该极值点也是最值点. 典型例题 【例1】已知函数. (1)若,求的值; (2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值. 【例2】设函数其中). (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,求函数在上的最大值. 【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元. (1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 强化训练 1.已知函数,若在上的最大值和最小值分别记为,求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 用导数研究函数的极值、最值、实际应用中的优化问题 1.用导数研究函数的极值 求可导函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域. (2)求导数. (3)求方程的根. (4)检验在方程根左右值的符号,求得极值(若左正右负,则在这个根处取极大值;若左负右正,则在这个根处取极小值). 2.用导数研究函数的最值 设在上连续,在内可导,求函数在上的最值的步骤: (1)求函数在内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值. (3)将函数的各极值与比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 3.用导数研究实际应用中的优化问题 (1)利用导数解决实际应用中优化问题的一般步骤: 1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系,并确定其定义域. 2)求函数的导数,解方程. 3)比较函数在区间端点和使的点数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (2)解决实际应用中优化问题必须注意以下两点： 1)求实际问题中的最大(小)值,一定要注意实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去. 2）用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,就不用与端点值比较,也可以知道该极值点也是最值点. 典型例题 【例1】已知函数. (1)若,求的值; (2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值. 【分析】 ，在函数的所有问题中,函数的单调性是最基础的问题,若含有参数,一般需对参数进行讨论,从而确定函数的单调性,再根据所求进行相应的判断,求解与证明.第(1)问,通过求函数的导数,对函数的单调性进行研究,求解函数的最小值是确定的值.数列不等式的证明或求解主要有两种思路:(1)通过函数的单调性得到数列的单调性,从而解决问题;(2)对数列的不等关系进行放缩,直接证明或求解.第问将问题转化为“和”式不等式,根据数列求和公式求解,其中应炅活运用放缩的技巧. 【解析】 (1)的定义域为. 若不满足题意; 若由知,当时,;当时,,在单调递减,在单调递增. 故是在的唯一最小值点. 由于当且仅当时,,故. (2) 【解法一】由(1)知,当时. 令得,从而有 故而 当时, 因此,对任意正整数,要使恒成立,必须的最小值为 【例2】设函数其中). (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,求函数在上的最大值. 【分析】 第(1)问,把代入,对求导,令得零,点坐标,由在定义域子区间的正负,确定的单调区间. 第(2)问,按照求函数在上的最大值和最小值的步骤进行,由于含有参数,且定义域区间为为参变数,必须对的取值分类讨论,层层深入,攻克难关. 【解析】 (1)当时,,令,得. 当变化时,的变化如下表: +