第15讲 数列的求和-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第15讲 数列的求和 一、课标要求： 本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性。 内容包括，数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。 （1）数列概念 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 （2）等差数列 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情填中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （3）等比数列 ①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 ④体会等比数列与指数函数的关系。 二、知识梳理 数列求和法． （1）能直接用等差（比）数列求和公式． （2）错位相减法． （3）倒序相加法． （4）裂项向消法． ①一般地，为等差数列，公差，，如 ，． ②分母有理化：，如 ，． 高考对数列的考查主要体现在以下几个方面： （1）考查等差数列．等比数列的有关知识（定义．通项．前n项和．性质）（知识立意）． （2）考查数列的通项公式．前n项和的求解及数列中的重要方法（能力立意）． （3）以数列为素材，重点考查学生的探究能力．思维能力．综合能力．创新意识等，此类题目背景．立意．结构都较新颖． 解决数列问题的基本思路是：判断所研究的数列是否为等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决；如果不是，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻求其他方法． 三、查缺补漏 1.公式法：直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等公式求解. 2.倒序相加（乘）法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和（积）等于首末两项之和（积），可采用把正着写和倒着写的两个式子相加（乘），就得到一个常数列的和（积），进而求出数列前项和（积）. 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子两边同乘以公比，得，两式错位相减整理即可求出. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾的若干少数项之和. 5.分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解. 一、公式法 常见数列的前项和 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）等差数列前项和：； （8）等比数列前项和：. 例1：已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项； （2）求数列的前项和. 二、分组求和如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，数列的通项较复杂时，把原数列的每一项拆成两项（或多项）的和或差，从而将原数列分解成两个（或多个）数列的和或差，而这两个（或多个）数列或者是等差数列、等比数列，或者是已知其和，求出这两个（或多个）数列的和，再相加或相减，得到原数列和的方法便是分组求和法. 例2：已知等差数列满足，. （1）若成等比数列，求的值； （2）设，求数列的前项和. 三、倒序相加如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可把正着写与倒着写的两个和式相加，得到一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法.特征： 例3 已知是上的奇函数，，,则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． B． 【答案】 四、裂项求和裂项求和的常见拆项公式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） （7） 若为等差数列，公差为，则. 例4 在数列中，，. （1） 求证：数列是等差数列； （2） 求数列的前项和. 五、错位相减形如，其中为等比数列，公差为，是等比数列，公比为. 第一步：写出； 第二步：写出； 第三步：写出. 注意:错位相减即由第一步的第二项减第二步的第一项,后面依次类推,然后要注意项数问题，最后一定要化简. 例5 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和为，且满足． （1） 求数列，的通项公式； （2） 设，求数列的前项和． 六、数列最值 恒成立；能成立． 例6 设数列的前项和，，． （