第14讲 等差数列与等比数列-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第14讲 等差数列与等比数列 一、课标要求： 本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性。 内容包括，数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。 （1）数列概念 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 （2）等差数列 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情填中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （3）等比数列 ①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 ④体会等比数列与指数函数的关系。 二、知识梳理 1． 等差数列的判定： ①(定义法)； ②（中项法）； ③；④． 2． 等差数列通项公式：⑴； ⑵． 3． 等差数列前项和公式：(公式推导方法：倒序相加法、分组求和法) ①（均值型）； ②（基本量型）【．】 【如何求？首项是还是，公差是，还要注意项数是多少．】 【，是公差为的等差数列.】 4． 等差数列的性质：【数列增减性与的关系】 ①若成等差数列，则叫做的等差中项，即； ②若，则； ③若成等差数列，则也成等差数列，即，则． ④等差数列的连续项的和构成的数列仍为等差数列（公差为）． ■均匀分段的和仍为等差数列．【解题时可画线段示意图：，，，…．线段上标注各段和！】 ⑤从等差数列中抽取若干项组成新数列，若序号成等差数列，则对应的项也成等差数列．【等距抽项成等差！】 ⑥设，为等差数列，则等仍为等差数列，而是等比数列． ⑦在等差数列中，当项数为时，；当项数为时，（中间项）. ⑧项之比与和之比的关系：设等差数列，的前项的和分别为则【】 5． 利用等差数列通项公式和求和公式熟练解决“知三求二”问题：抓住基本量是关键． 6. 等比数列的判定（用①②③④）与证明（用①②）：【判定为等比数列时，一般应有 的说明．】 ①(定义法)； ②(中项法)； ③（通项法，首项，公比是多少？）； ④（和式法）． 7． 等比数列通项公式：⑴， ⑵ 8． 等比数列前项和公式：当时，；当时，. 【在公比不明确的情况下，求和必须分，两种情形！】 【公式推导方法有三种：①(乘公比)错位相减法；②分数等比定理；③利用．】 【如何求？首项是还是，公比是，还要注意项数是多少！】 9． 等比数列的性质：【数列增减性与的关系】 ①若成等比数列，则叫做的等比中项，即； ②若，则； ③若成等差数列，则也成等比数列，即，则． ④等比数列的连续项的和构成的数列仍为等比数列（公差为）． ■均匀分段的和仍为等比数列．但当时，必须为奇数． 【解题时可画线段示意图：，，，…．线段上标注各段和！】 10． 利用等比数列通项公式和求和公式熟练解决“知三求二”问题：抓住基本量是关键．在等差、等比数列求和项数比较少的情况下，不一定非要求和公式，可以考虑用各项相加的形式表示！ 三、查缺补漏 1． 数列的思维特征 （1）要关注数列的属性（通项公式） 例1．=___________． （2）要关注数列的项数 例2．，求． 例3．已知数列，其前n项和为，，求． 2．用函数的观点认识数列．解决数列问题 数列的通项公式是特殊的函数，可用函数观点处理． 例4．已知等差数列和等比数列各项都是正数，且，则一定有（ ） A． B． C． D． 例5．等差数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的都有成立，则实数的取值范围是_____________． 例6．已知数列是递增数列，且对都有，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 四、常用二级结论 1． 在由正到负或由负到正的等差数列中，有关的最值问题： ①利用，找出所有的非负数项(或所有的非正数项)，便可确定的最大值(或最小值)． ②利用是二次函数，找对称轴，完成求最值． 2． 等差数列的前项和与的前项和的关系． ①设的前项均为非负数，则 ②设的前项均为非正数，则 3． 与等差数列有关的递推数列： ①【取倒数】是首项为，公差为的等差数列； 变式：【除积数】是首项为，公差为的等差数列. ②【除幂