第13讲 三角函数的应用-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第13讲 三角函数的应用 一、课标要求： 1.三角函数应用 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。 三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质。在三角恒等变换的教学中，可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式；也可以在向量的学习中，引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 函数应用的教学，要引导学生理解如何用函数描述客观世界事物的变化规律，体会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数与现实世界的密切联系。 鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。 2.向量应用与解三角形 ①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 ②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。 ③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 二、知识梳理 一、正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即(R为三角形外接圆的半径). 二、正弦定理的推广及其变形 边化角公式 角化边公式 变式1 变式2 变式3 三、余弦定理 三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. , , . 四、余弦定理的推广及其变形 五、三角形面积 设的三边为,对应的三个角分别为,其面积为. 1. 为边上的高)； 2. ； 3. 为三角形的内切圆半径 ； 4. ； 5. 为三角形外接圆半径； 6. 为三角形外接圆半径)； 7. . 三、查缺补漏 一、三角形内角和 的内角和等于，即.利用诱导公式可得： 例1：在锐角中，已知 ，则的最大值为( ). A．4 B．3 C．6 D．7 二、射影定理 设的三边为,对应的三个角分别为,则 例2：设的内角所对的边分别为 , 若，则的形状为( ). A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 三、正弦定理的应用 1. 已知两角与一边，由及，可求出角，再求. 2. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角, 由 ，求出，再由，求出. 例3：在中， ，则( ). A．或 B． C． D． 四、余弦定理的应用 1. 已知两边与其夹角，由 ，求出，再由余弦定理，求出角. 2. 已知三边 ，由余弦定理可求出角. 例 4： 在中，若，则( ). A． B． C． D． 五、边角不等关系等价条件 在 中，. 例 5： 在中，“”是“”的 ( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 六、三角形形状判定 若 ，则或 ，则. 例 6： 在中，若 ，则是 ( ). A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等形直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形 七、三角形面积 . 例7：在中，的对边分别是，其面积 ，则的大小是( ). A． B． C． D． 三年真题： 三角函数 一、选择题 1．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 (　　)． A． B． C． D． 2．(2021年高考全国乙卷理科·第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 (　　) (　　) A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 3．(2021年高考全国甲卷理科·第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() (　　) A．346 B．373 C．446 D．473 二、填空题 4．(2021年高考浙江卷·第14题)在中，，M是中点，，则___________，___________． 5．(2022年全国甲卷理科·第16题)已知中，点D在边