第12讲 三角函数的图像与性质-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第12讲 三角函数的图像与性质 一、课标要求 三角函数概念和性质 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。 ②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质。 ③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。 二、知识梳理 1．的图像与性质【定义域，周期性，奇偶性（对称性），单调性，最值（值域）】． 函数 图像 定义域 值域 最值 当时， 当时， 当时， 当时， 无 单调性 在上递增； 在上递减. 在上递增； 在上递减. 在上递增 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 关于直线对称 关于直线对称 关于点对称 关于点对称 关于点对称 都是在对称轴处取得最值，对称中心都是与平衡位置（直线）的交点 周期性 的周期 的周期 注意对称中心，对称轴的距离与周期的关系！ 注意与的图像与性质，及的符号对函数的影响！这两个函数在对称轴处的导数值均为0，即，要会利用正弦，余弦曲线，类比，归纳，解决与相关问题！ ⑴根据函数图象你能熟练地说出每个函数的性质吗？它们的对称轴方程、对称中心的坐标你能归纳吗？相邻的对称轴或对称中心之间的距离与周期的关系清楚吗？掌握了这些特点，就能解决下列函数的相关问题： ①； ②； ③； 在时，与在很多方面（取值范围或取值）有一致性：单调区间，最值点，对称轴的值，对称中心的横坐标，五点作图；然后解与有关的不等式或方程．【用换元法的思想解决问题】 ⑵熟练画出在上的图象，因为它包含三个常用区间． 研究单调性或解不等式时，要会选择其中一个区间；另外，函数图象局部的对称性你知道吗？会利用吗？ 2． 三角函数的周期公式：．）【注意含绝对值函数的图象，另见讲座“周期性”！ （1）的周期： （2）的周期：. 3． 函数的图象 （1）五点作图法作出函数在一个周期上的图像： ①令一次为（五个最值点或零点），求出； ②再依点作图． 说明：如果将的五个值化为同分母分数（这五个值成等差数列，公差为），然后取其“最大公约数”作基本单位，则可迅速确定轴上的五个数； （2）三角函数图像的三变换 ①的图像向左或向右移个单位得到的图像； ②将所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像； ③将所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到的图像； （3）图形变换1：（） 图形变换2：（） 说明： ①由的图像得到的图像，左右平移个单位； ②由的图像变换，共有6种不同的变换途径！会根据变换写解析式！ ③(平衡变换)，向上或向下平移个单位. 4． 函数【值域为】中的物理量： ①振幅是（离开平衡位置的最大距离）， ②周期是（作往复运动一次的时间）； ③频率是（单位时间内往复运动的次数）. ④相位是； ⑤初相是； 5． 在上有个解，求的取值范围：由，得确定的图象，再观察直线，结合题设，易得出答案． 三、查缺补漏 一、求三角函数解析式 或称为振幅,称为相位,称为初相. ①的确定: 表示该三角函教的平衡位置,. ②的确定:最高点或最低点到平衡位置的距离为振幅,. ③的确定:先求周期,两个相邻最高点或最低点之间的距高为一个周期一个最高点与相邻的一个最低点之间的距离或两个相邻的零点之间的距离为半个周期,一个最高点(最低点)与相邻的零点之间的距离为, 然后利用. ④的确定:代入图像上一个点的坐标通常代入最高点或最低点, 不能代入零点(平衡点) ] 或通过平移. 例 1 已知函数的图像（部分）如图所示,则的解析式是 ( ). A. B. C. D. 二、三角函数单调性 1. 2. 3. 的单调性可根据和的单调性来研究,由得单调递增区间; 由得单调递减区间; 4. 的单调性可根据和的单调 性来研究, 由得单调递增区间; 由 得单调递减区间. 例2 设在区间上单调增加,则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 三、三角函数奇偶性的结论 1. 若 为奇函数, 则 ; 2. 若 为偶函数, 则 ; 3. 若 为奇函数, 则 ; 4. 若 为偶函数, 则 ; 5. 若 为奇函数, 则 , 该函数不可能为偶函数. 例3 使函数 为偶函数的最小正数 （ ）. A. B. C. D. 四、三角函数对称性结论 1. 函数 的对称轴为 , 对称中心为 ; 2. 函数 的对称轴为