第30讲 用导数研究和证明函数不等式问题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第30讲 用导数研究和证明函数、不等式问题 函数背景下的不等式证明是个难点,面临两个方面的挑战:一是其基本方法是构造函数法,要善于观察待证不等式的等价不等式的结构特征去构造出相应的、适当的、合理的函数,将不等式证明的问题转化为对函数有关性质的研究的问题;二是要掌握有关函数性质的知识,掌握对有关函数性质研究的方法,特别是导数法,积累对有关函数性质研究的经验.函数不等式的形式通常为.证明方法如下： (1)构造函数,确定函数的定义域后,通过求导数,求出的最小值(或极小值)； (2)说明函数的最小值(或极小值)为非负数即可. 另一种证法是把待证不等式等价转化为型,由此构造两个函数,接下来的工作是利用导数判断的单调性,进而求出函数的最值或临界值. 典型例题 【例1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时,. 【例2】已知函数 . （1）设函数 , 求 的单调区间与极值; （2） 设 , 解关于 的方程 ; （3）设 , 证明: . 【例3】已知是定义在上的奇函数,且当时,单调递增,,设,集合对任意的对任意的,求. 【例4】已知函数. （1）讨论函数的单调性; (2)设,若对任意,存在,使成立,求实数的取值范围； (3)求证:,且). 强化训练 1.已知函数. (1)求的单调区间; (2)若的最小值为0,求实数的值; (3)在(2)的条件下,数列满足.记表示不超过的最大整数,求 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 用导数研究和证明函数、不等式问题 函数背景下的不等式证明是个难点,面临两个方面的挑战:一是其基本方法是构造函数法,要善于观察待证不等式的等价不等式的结构特征去构造出相应的、适当的、合理的函数,将不等式证明的问题转化为对函数有关性质的研究的问题;二是要掌握有关函数性质的知识,掌握对有关函数性质研究的方法,特别是导数法,积累对有关函数性质研究的经验.函数不等式的形式通常为.证明方法如下： (1)构造函数,确定函数的定义域后,通过求导数,求出的最小值(或极小值)； (2)说明函数的最小值(或极小值)为非负数即可. 另一种证法是把待证不等式等价转化为型,由此构造两个函数,接下来的工作是利用导数判断的单调性,进而求出函数的最值或临界值. 典型例题 【例1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时,. 【分析】 本题主要考查导数的几何意义,利用导数证明不等式,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.第(1)问,首先求出导函数,然后将代入,得切线的斜率,从而求出切线方程;第(2)问,利用放缩法进行转化,构造函数,判断单调性,求最值,即可完成证明.当然,不等式证明的关键是合理放缩,可降低难度,不等式证明的放缩技巧性强,要㫃悉常见的几种函数放缩模型,选择恰当的放缩模型,对函数进行转化、变形,构造新函数,判断新函数的单调性,求出最值,这其中,运用导数研究和证明函数的单调性是证明的核心步骤. 【解析】 (1). 因此曲线在处的切线方程是. (2)【证法一】 当时,. 令,则. 当时,单调递减; 当 时, 单调递增; , 因此 。 【证法二】 函数 的定义域为 . 当 时, 令 , 得 或 , 其中 . 则函数 的单调递减区间为 , 单调递增区间 为 . 又 , 当 时, 恒成立, 故 . 故当 时, . 【证法三】 不等式 等价于 . 当 时, , 即结论得证. 【例2】已知函数 . （1）设函数 , 求 的单调区间与极值; （2） 设 , 解关于 的方程 ; （3）设 , 证明: . 【分析】 本例是一道有众多知识相交汇的综合题, 主要考查函数导数的应用、 不等式的证明、解方程等基础知识、考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方 法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力, 其中 是容易题; 对于 , 必须对参数 进行讨论; 对于 , 含字母的式子较为复杂,运算变形要仔细. 【解析】 （1）. 令 , 得 舍去. 当 时, 时, , 即当 时, 为增函数; 当 时, 为减函数. 为 的极大值点, . （2）原方程变为 . 如图所示 当时,原方程有一解 当时,原方程有两解; 当时,原方程有一解; 当或时,原方程无解. （3）【证明】 由已知得 设数列的前项和为,且,从而有, 当时,, 又 即对任意的,有, 又 ,故原不等式成立. 【例3】已知是定义在上的奇函数,且当时,单调递增,,设,集合对任意的对任意的,求. 【分析】 本例是2011年清华大学原自主招生数学试题,把函数性质、三角知识与集合运算融为一体,有考查学生数学基础知识及解题能力的功能,求解本题的关键是转化,转化为含参数一元二次不等式在区间上的恒成立问题,再转化为函数问题,运用函