第33讲 数列的性质及综合应用 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第33讲 数列的性质及综合应用 以等差与等比数列的知识和规律为主体内容设计的综合试题是高考数列压轴题命制的一个热点,必须重视这两类数列的性质在解题中的应用,特别是性质中的一些对偶关系,可以给解题带来方便,下面把等差数列、等比数列的重要性质归纳如下,读者可以对照看看. 1.等差数列的重要性质 (1)在等差数列中,任意两项之间的关系为, (2)在等差数列中,当时,则有;特别地,当时,则有. (3)若数列是公差为的等差数列,则数列是常数)是公差为的等差数列;若数列分别是公差为的等差数列,则是常数)是公差为的等差数列. (4)数列是公差为的等差数列,每隔项取出一项得到的,仍为等差数列,公差为. (5)等差数列前项和是关于的二次函数且常数项为0. (6)在等差数列中,前项和为,若项数为,则,若项数为,则. （7）在等差数列中,数列成等差数列. 2.等比数列的重要性质 (1)在等比数列中,任意两项之间的关系为. (2)在等比数列中,若,则特别地,当时,则有. (3)若数列是公比为的等比数列,则数列是常数)是公比为的等比数列;若数列分别是公比为的等比数列,则是公比为的等比数列. (4)数列是公比为的等比数列,每隔项取出一项得到的,仍为等比数列,公比为. (5)等比数列前项和(其中,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比. （6)在等比数列中,前项和为,若项数为,则 (7)在等比数列中,若,则数列成等比数列. 3.等差、等比数列的综合问题 创新题型是高考命题的热点,数列又是创新题型的热点.近年来由等差、等比数列通过组合、类比或推广构造出一种新的数列,如等和数列、等积数列、等方比数列、积等差数列、商等差数列等,我们称之为由这两类基本数列演化出来的“生成数列”,解题的关键仍然是运用等差、等比数列知识解题,涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知识特别是上述重要性质来解决. 典型例题 【例1】已知是各项均为正数的等比数列,且. (1)求数列的通项公式; (2)为各项非零的等差数列,其前项和为,已知,求数列的前项和. 【例2】在数列与中,.数列的前项和满足: 为与的等比中项,. (1)求的值; (2)求数列与的通项公式.项和的关系. 强化训练 1. 设数列满足,令是由数列中的公共项按照从小到大顺序排列而成的数列,求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 数列的性质及综合应用 以等差与等比数列的知识和规律为主体内容设计的综合试题是高考数列压轴题命制的一个热点,必须重视这两类数列的性质在解题中的应用,特别是性质中的一些对偶关系,可以给解题带来方便,下面把等差数列、等比数列的重要性质归纳如下,读者可以对照看看. 1.等差数列的重要性质 (1)在等差数列中,任意两项之间的关系为, (2)在等差数列中,当时,则有;特别地,当时,则有. (3)若数列是公差为的等差数列,则数列是常数)是公差为的等差数列;若数列分别是公差为的等差数列,则是常数)是公差为的等差数列. (4)数列是公差为的等差数列,每隔项取出一项得到的,仍为等差数列,公差为. (5)等差数列前项和是关于的二次函数且常数项为0. (6)在等差数列中,前项和为,若项数为,则,若项数为,则. （7）在等差数列中,数列成等差数列. 2.等比数列的重要性质 (1)在等比数列中,任意两项之间的关系为. (2)在等比数列中,若,则特别地,当时,则有. (3)若数列是公比为的等比数列,则数列是常数)是公比为的等比数列;若数列分别是公比为的等比数列,则是公比为的等比数列. (4)数列是公比为的等比数列,每隔项取出一项得到的,仍为等比数列,公比为. (5)等比数列前项和(其中,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比. （6)在等比数列中,前项和为,若项数为,则 (7)在等比数列中,若,则数列成等比数列. 3.等差、等比数列的综合问题 创新题型是高考命题的热点,数列又是创新题型的热点.近年来由等差、等比数列通过组合、类比或推广构造出一种新的数列,如等和数列、等积数列、等方比数列、积等差数列、商等差数列等,我们称之为由这两类基本数列演化出来的“生成数列”,解题的关键仍然是运用等差、等比数列知识解题,涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知识特别是上述重要性质来解决. 典型例题 【例1】已知是各项均为正数的等比数列,且. (1)求数列的通项公式; (2)为各项非零的等差数列,其前项和为,已知,求数列的前项和. 【分析】 数列在高考中的地位是比较重要的,其中数列的通项公式与前项和的求解方法是数列的核心问题,命题的重点为等差数列和等比数列的通项公式,前项和公式以及常见数列的求和方法.第(1)问,根据条件列出关于首项和公比的方程组,求出首项和公比,从而得到数列的通项公式;第问,解题的关键是写出的