第44-45讲 解析几何中的最值与范围问题 直线与圆锥曲线综合问题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第44讲 解析几何中的最值与范围问题 圆锥曲线中的最值问题以及参变量的取值范围问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，先根据条件列出所求目标函数关系式，求解最值或参变量的取值范围。这也正是几何法与代数法两种不同的处理方法。几何法常需扣住圆锥曲线的定义并和平面几何求有关结论或解三角形有关定理巧妙结合。代数法则常把有关问题转化为二次函数、高次函数或三角函数的最值或参数的取值范围问题，然后利用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、导数法及三角法（利用三角函数的有界性）等解之。 典型例题 【例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为。 （1） 求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相应的的面积；若不存在，请说明理由。 【例2】如图所示，已知抛物线，点,,抛物线上的点 ，过点作直线的垂线，垂足为。 （1） 求直线斜率的取值范围 （2） 求的最大值 强化训练 1.如图所示, 是拋物线上一点, 直 线过点且与拋物线交于另一点。 （1）若直线与过点的切线垂直,求线段中点的轨迹方程； （2）若直线不过原点且与轴交于点,与轴交于点, 试求的取值范围。 第45讲 直线与圆锥曲线综合问题 从高考命题看，解析几何试题每年都在变换风格，考查思维的敏捷性，在改革中求发展，在探索中求创新，而直线与圆锥曲线综合问题是命题长盛不衰的热点，解析几何中的信息迁移题和应用性问题也会有所加强。 综合问题通常是一些基本问题的组合，所以在解综合题时，可通过审题确定解题的策略，把问题分解成若干个基本问题，因此掌握基本问题的求解方法是解综合题的先决条件。我们用代数的方法研究几何图形的性态，从解析几何角度看常见题型不外乎是轨迹问题（见本书第四十九讲）、对称问题（见本书第四十二讲）、最值问题与范围问题（见本书第四十四讲）、定点、定值问题（见本书第四十三讲）、弦中点问题、交点问题、弦长问题（直线与圆锥曲线的相交弦问题）。本讲对上述的后3个问题略作展开。 典型例题 【例1】 已知斜率为的直线与椭圆交于、两点,线段的中点为 (1) 证明: ; (2) 设为的右焦点,为上一点,且,证明: ，，成等差数列，并求该数列的公差。 【例2】如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆过点，焦点，，圆的直径为。 （1）求椭圆及圆的方程； （2）设直线与圆相切于第一象限内的点。 (i)若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标； (ii)直线与椭圆交于、两点，若的面积为,求直线的方程。 强化训练 1. 在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足。 （1） 当点在上运动时，求点的轨迹的方程； （2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标； （3）过点且不平行于轴的直线，与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44讲 解析几何中的最值与范围问题 圆锥曲线中的最值问题以及参变量的取值范围问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，先根据条件列出所求目标函数关系式，求解最值或参变量的取值范围。这也正是几何法与代数法两种不同的处理方法。几何法常需扣住圆锥曲线的定义并和平面几何求有关结论或解三角形有关定理巧妙结合。代数法则常把有关问题转化为二次函数、高次函数或三角函数的最值或参数的取值范围问题，然后利用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、导数法及三角法（利用三角函数的有界性）等解之。 典型例题 【例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为。 （1） 求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相应的的面积；若不存在，请说明理由。 【分析】 第（1）问，求椭圆的方程就是求两个参教、，这需要两个等量关系。已知离心率 给出了、的一个等量关系，而“椭圆的上的点到的距离的最大值为”又暗藏、 的另一个等量关系，求两个基本量有两个条件足够了。第（2）问，求两个参数，也需要 两个等量关系，第（1）问的结论给出了，的一个等量关系，而“的面积最大”时 又暗藏，的另一个等量关系，暗藏的条件实质上是本题的隐含条件，挖掘隐含条件使之明 朗是解答本题的关键，明确求两个参数需要两个等量关系就是本例的解题方向，在方程观点下 的两问有结构上的相同之处。 【解析】 （1） ∵，∴，即椭圆的方程可写为 设为椭圆上任意给定的一点 ， 由题设存在点：满足，则，∴ 当时，由于，此时取得最大值。 ∴，。 故所求椭圆的方程为 （2） 解法一 存在点满足要求，使的面积