第50讲 以解析几何为背景的探索性与新颖性问题 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第50讲 以解析几何为背景的探索性和新颖性的问题 本讲中的许多问题牵涉到直线与圆锥曲线的关系问题, 这是解析几何综合题求解过 程中经常碰到的重大知识点汇集得最多最为紧密的地方, 在数学上任何一个知识点都有 其生成与发展以至应用的过程,它们绝对不是独立的概念,必然与其他知识点有着密切的 联系,构成一串串的知识链, 所以许多数学知识要联系起来看, 直线与曲线的位置关系以 及由此引出的探索性与新颖性问题正是需要集合众多的知识与方法才能攻克的题型. 以解析几何为背景的探索性与新颖性问题研究的核心仍然是直线与圆锥曲线的关系 问题,在题目的设计上布置了一个新的场景,探索性问题大部分是存在判断型. 新颖性问题则在研究型上做文章,所以攻克这类高考热点题型, 主要应㧓住以下几点. （1）直线与圆锥曲线的相对位置关系,如交点个数问题, 仅通过方程组解的状况来判 断是不够的,如椭圆是一条光滑的封闭曲线, 可以类似于直线与圆的位置关系加以研究 (用判别式), 双曲线与抛物线都不是封闭曲线, 当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线 的对称轴平行时, 直线与曲线仅有一个公共点,并不仅是方程组求解时 的情景, 圆锥 曲线与圆锥曲线的关系问题更要结合图形及相关性质加以分析. (2) 研究直线被圆锥曲线所截弦的问题, 消元后若求弦长,则常用韦达定理和弦长公 式 或 . 若运用直线的参数方程,则利用参数 方程中参数 的几何意义: , 求弦上某点的坐标,则常用韦达定理和定比分点 公式、中点坐标公式, 可见韦达定理在解析几何中的应用非常重要,若牵涉到参变量,则参 变量的取值范围不容忽视. （3）关于直线与圆锥曲线关系中点的对称问题,如曲线上两点关于已知直线对称, 求 某参变量的取值范围,必须紧紧㧓住垂直、平分两个方面并结合两个对称点的存在性. 解析几何探索性与新颖性问题的解答常常是代数的方法与几何图形的分析结合在一 起,有时还要与函数、导数,不等式、三角函数、数列、向量等知识相交汇, 此类题型的解法 “奇伟”“瑰丽", 从中时时会显露出数学之美. 解题时应当好好揣摩题意, 并想方设法作进 一步探讨,若不敢越雷池一步,势必会束缚人的才智, 也不利于创新思维的开发与创新精 神的培养. 下面介绍的就是近几年中出现的各类好题,仔细研读它们,你会发现以解析几何为背 景的探索性、新颖性与研究性问题粗一看总是“山穷水复疑无路",一旦领悟,找到了攻克 的方向,就会出现“柳暗花明又一村”了. 典型例题 【例1】(1) 已知椭圆 的离心率 , 且椭圆 上的点到点 的最大距离为 4 , 若 在椭圆 上, 则 称为点 的一个 “和谐点”, 直线 与椭圆交于 两点, 两点的“和谐点”分别为 , 已知以 、为直径的圆经过坐标原点. (1) 求椭圆 的方程; （2） 的面积是否为定值? 若为定值,试求出该定值;若不是定值, 请说明理由. 【例2】已知椭圆 , 过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于 和 , 记得到的平行四边形 的面积为 . (1) 设 , 用 的坐标表示点 到直线 的距离, 请证明: (2) 设 与 的斜率之积为 , 求面积 的值. 【例3】$已知椭圆的方程为 点P 的坐标为 (1) 若直角坐标平面上的点 满足 , 求点 的坐标; (2) 设直线 交椭圆 于 两点, 交直线 于点 , 若 , 证明: 为 的中点; （3）对于椭圆 上的点 , 如果椭圆 上存在不同的两 点 使得 , 写出求作点 的步骤,并求出使 存在的 的取值范围; (4) 设点 在椭圆 内且不在 轴上,如何构作过 中点 的直线 , 使得 与椭圆 的两个交点 满足 ; 令 , 点 的坐标是 , 若椭圆 上的点 满足 , 求点 的坐标. 强化训练 1. 从椭圆上的动点作圆的两条切线,切点为和,直线与轴和轴的交点分别为和,求面积的最小值. 2.设抛物线的焦点是是抛物线上互异的两点,直线与轴不垂直,线的垂直平分线交轴于点,记. (1)证明:是与的等差中项; (2)设,直线轴,且被以为直径的动圆截得的弦长恒为定值,求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第50讲 以解析几何为背景的探索性和新颖性的问题 本讲中的许多问题牵涉到直线与圆锥曲线的关系问题, 这是解析几何综合题求解过 程中经常碰到的重大知识点汇集得最多最为紧密的地方, 在数学上任何一个知识点都有 其生成与发展以至应用的过程,它们绝对不是独立的概念,必然与其他知识点有着密切的 联系,构成一串串的知识链, 所以许多数学知识要联系起来看, 直线与曲线的位置关系以 及由此引出的探索性与新颖性问题正是需要集合众多的知识与方法才能攻克的题型. 以解析几何为背景