第01-02讲 以分析法为主导解、证数学问题 以综合法为主导解、证数学问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第01讲 以分析法为主导解、证数学问题 分析法,又称逆推法,是由未知(或结论)追溯到已知条件或真命题的证明方法,即从要证明的结论出发,依次追溯出一系列使结论成立的等价命题,当追溯出的等价命题是已知条件或真命题时,说明结论的真实性,从而证明了原命题的正确性. 分析法的优点是思考问题的解题思路比较自然,问题容易得到解决,缺点是叙述过程比较烦琐. 典型例题 【例1】设,求证. 【例2】在中,. (1)求的值; (2)设的面积,求的长. 【例3】若是不全相等的正数,求证:. 【例4】将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 记表中的第一列数构成数列为为数列的前项和,且满足. (1)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式; (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数,当时,求上表中第行所有项的和. 第02讲 以综合法为主导解、证数学问题 综合法又称顺推法,是由已知条件(或真命题)推导到未知(或结论)的证明方法,即从已知条件或真命题出发,依次推导出一系列真实命题,最后达到所要证明的命题的结论. 综合法的优点是叙述过程简短明了,缺点是不易找到解决问题的起点(即从哪里开始．) 典型例题 【例1】已知均为正数,证明:并确定为何值时,等号成立. 【例2】已知二次函数. (1)若且,证明:的图像与轴有两个相异交点; (2)若且,证明:方程必有实根在区间内; (3)在的条件下,设两交点为,求线段长的取值范围. 【例3】已知是定义在上的奇函数,且当时,单调递增,,设集合,求. 【例4】设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点. (1)证明:为定值,并写出点的轨迹方程; (2)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 以分析法为主导解、证数学问题 分析法,又称逆推法,是由未知(或结论)追溯到已知条件或真命题的证明方法,即从要证明的结论出发,依次追溯出一系列使结论成立的等价命题,当追溯出的等价命题是已知条件或真命题时,说明结论的真实性,从而证明了原命题的正确性. 分析法的优点是思考问题的解题思路比较自然,问题容易得到解决,缺点是叙述过程比较烦琐. 典型例题 【例1】设,求证. 【分析】 本例是武汉大学自招试题,需证的不等式由多个分式组成且字母又多,若运用综合法.即从左边证到右边,则根本无法入手，因此需要结合分析法，化繁为简.为减少运算量，可先移项通分后再展开对消，容易得到一个显然成立的结果.故本例采用分析法证明是上策. 【证明】 欲证明原不等式成立,只需证, 即证, 即证, 即证,即证,而此式显然成立,故原不等式得证. 【例2】在中,. (1)求的值; (2)设的面积,求的长. 【分析】 分析法并非局限于证明题,在计算题中同样适用.第问,欲求的值.由且的值已知,再求出,的值即可.第(2)问,欲求的长.由正弦定理得,可推得.而的值在第(1)问中已求得,只需求或的值,而由,则的值可整体求得,这是一道运用分析法解题的典型题目. 【解析】 (1)(先分析)欲求的值,,故需求的值. (再综合). . (2)(先分析)欲求的长,由正弦定理可得 .由(1)得. 故只需求的值. (再综合)由已知,得 则 【例3】若是不全相等的正数,求证:. 【分析】 在证明不等式的过程中.分析法和综合法是不可分离的，前者是逆推或倒溯,后者是顺推，如果使用综合法证明不等式难以入手时.常用分析法探索证题途径. 然后用综合法的形式写出它的证明过程.有些问题证明难度较大,常常是分析与综合交替使用,比如上例的解法就是如此,也有题目分析法、综合法两法并进,实现两头往中间靠以达到证题目的,称之为“中途岛法”本例的证明先要利用对数运算变形,把真数从对数中剥离出来,将原不等式转化为,再用基本不等式证明.下面介绍分析法与综合法两种证法.事实上,若没有对所证不等式的“剥离”变形,综合法很难想到. 【证法一】 (分析法)要证, 即证成立. 只需证 又 又是不全相等的正数,(1)式等号不成立. 原不等式成立. 【证法二】 (综合法) 又为不全相等的正数,. . 即 【例4】将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 记表中的第一列数构成数列为为数列的前项和,且满足. (1)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式; (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数,当时,求上表中第行所有项的和. 【分析】 本例以三角形数表和恒等式综合呈现,首先要分析恒等式的结构特征,用换元法转化题设中的恒等式为含的形式,再整理可得(常数),这是第问的证明思路.而第(2)问的解题关键是先分析