第03-04讲 以分析、综合两法兼用解、证数学问题 构造函数、方程、不等式模型,巧用结构思想解题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第03讲 以分析、综合两法兼用解、证数学问题 运用分析法与综合法的解题过程如图所示,其中内环是分析过程(执果索因),外环是综合过程(由因索果). 分析与综合思想方法的主要特点如下： (1)方法上的相互依存、相互补充; (2)过程中的互相交替、相互转化; (3)结论在相反的推导过程中得到验证. 分析与综合是两个方向相反的思维过程的统一,其中每一个过程之所以能够进行,就是因为:分析在自身中包含着综合,综合在自身中包含着分析,对于较为复杂的数学问题的解(证)常常是分析,综合两法兼用或者是先用分析法探求解题的起点,找到起点后再用综合法叙述解题(或证明)过程. 典型例题 【例1】已知且求证:. 【例2】已知函数是两两不相等的正数,且成等比数列,试判断与的大小关系,并证明该结论. 【例3】设函数曲线在点处的切线为 (1)求; (2)证明:. 第04讲构造函数、方程、不等式模型,巧用结构思想解题 构造某种数学模型简称为模型法,而模型是一种结构,这种结构是通过对原型的形象化或模拟与抽象而来的.它的思维程式是:问题→转化为已知的数学模型→应用已知数学模型的某些特征→问题的解决,如图2-1所示. 本专题主要以例题来阐述如何根据已知条件和结论,构造函数、方程、不等式数学模型,实施转化解题. 典型例题 【例1】(1)已知,求证:; (2)求证:. 【例2】(1)若求证:; (2)已知数列是否存在正数使对一切不等式均成立.若存在,求出的最大值.若不存在,说明理由. 【例3】(1)已知实数满足,求证:; (2)若,且,求证:. 【例4】已知为两相异锐角,且满足方程. 求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 以分析、综合两法兼用解、证数学问题 运用分析法与综合法的解题过程如图所示,其中内环是分析过程(执果索因),外环是综合过程(由因索果). 分析与综合思想方法的主要特点如下： (1)方法上的相互依存、相互补充; (2)过程中的互相交替、相互转化; (3)结论在相反的推导过程中得到验证. 分析与综合是两个方向相反的思维过程的统一,其中每一个过程之所以能够进行,就是因为:分析在自身中包含着综合,综合在自身中包含着分析,对于较为复杂的数学问题的解(证)常常是分析,综合两法兼用或者是先用分析法探求解题的起点,找到起点后再用综合法叙述解题(或证明)过程. 典型例题 【例1】已知且求证:. 【分析】 本例有多种证法,可采用综合法(由因导果),也可采用分析法(执果索因).当然由条件的特点,采用三角换元结合函数的单调性也是一种好方法.若在证明过程中构造“耐而克”函数,利用“耐克”函数的单调性,则使证明“别开生面”且相对简捷,这是本例的妙思巧证. 【解析】 【证法一】 (综合法) (在用综合法证题过程中采用拆项不易想到) 【证法二】 (分析法)欲证原不等式成立,即证. 也即证 故 将(2)式代人(1)式,得即证, 也即证或,而不可能成立,故即证. 由且,得,因此原不等式成立. 【证法三】 (三角换元结合函数单调性)令. 则 令设 当时, .即在上为减函数,. ,当且仅当时等号成立. 【证法四】 将展开得这3个式完全类似可类比构造函数 当时,在上是减函数, 又,即, , 即原不等式成立. 【例2】已知函数是两两不相等的正数,且成等比数列,试判断与的大小关系,并证明该结论. 【分析】 综合法和分析法各有其优缺点,分析法利于思考,综合法宜于表达,因此,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主余求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.两种方法只是解题思维的切入口不同而已,有时要把分析法和综合法结合起来交替使用,才能成功. 本例的求解过程,便是先举特例猜测结论,再用分析法给出思路,最后用综合法给出证明. 取,则 ,于是由猜测. 要证明,则只需证, 即证,亦即证, 展开整理得,因为,所以只要证,显然是成立的.上面从取开始到推得的过程就是分析法,下面给出的是运用综合法证明. 【解析】 . 即从而, 因为是增函数,所以 即 故. 【例3】设函数曲线在点处的切线为 (1)求; (2)证明:. 【分析】 第问运用综合法解很简单,第问相对而言条件复杂而所证结论简单,运用综合法困难较多,运用分析法较易找到证题思路.由于函数的结构较为复杂,在进行分析法证明的过程中技巧性强,这是一道用分析法寻找解题思路的典型案例. 【解析】(1)函数的定义域为. 由题意可得,故. (2)证法一由(1)知, 要证,即证(1) 两边同除以即证(2)(这一步很难想到) 观察(2)式的结构,不等式中有个性质完全不同的项,尝试将它们转化为同型. 当时,变量代换.用代替可得即 故只需证即证 这只需证 令则,令得 当时在区间上递减;当时, 在区间上递增,故 于是,(4)式成立,即原不