第05-06讲 构造解析几何模型,巧用结构思想解题 构造数列、排列组合和概率模型, 巧用结构思想解题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第05讲 构造解析几何模型,巧用结构思想解题 解析几何的实质是从代数的方向求解几何问题,是将数学问题所呈现的几何特征代数化,如果所给的数学问题从表层看与解析几何毫不相关,则可挖掘题中隐藏的结构特点,通过构造解析几何模型,运用距离公式、斜率公式,点到直线距离公式,直线方程的各种形式以及圆锥曲线方程等巧妙地解决许多数学问题. 当然最为重要的是如何对原型加以分析,产生联想,构造出解析几何模型,并通过求解解析几何模型得到原题的解. 模型法解题必须紧紧抓住以下3点: (1)构造的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征; (2)构造的数学模型既能进行理性分析,又要能进行计算和逻辑推理; (3)解答构造的数学模型所获得的结果,一定是原命题的解题目标,并经过检验,对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃. 典型例题 【例1】(1)试求函数的最大值; (2)设为锐角,试比较与的大小. 【例2】(1)求的最小值； (2)如果函数在区间上单调递减,那么的最大值为( ). A.16 B.18 C. D. 【例3】 (1) 求二元函数的最小值; (2) 已知求的最小值 【例4】 在平面直角坐标系中,设定点是函数 图像上一动点,若点 之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为, 第06讲 构造数列、排列组合和概率模型, 巧用结构思想解题 数学模型是原型的一个相似变换,解题的过程实质上包含着多层次的思维转化过程, 如果原型所提供的信息其内在的本质与数列、排列组合、概率有关,那么这个原型可以转 化为运用构造法,转化为建立数列、排列组合、概率的数学模型来解. 典型例题 【例1】 (1)数列中,,求通项 ; (2)设,数列满足,求通项. 【例2】 对负整数,数依次成等差数列. (1) 求的值; (2) 若数列满足,求的通项公式; (3) 在(2)的条件下,若对任意,有,求的取值范围. 【例3】 （1）求证: ; （2）求证: . 【例4】 (1) 袋中有红球和白球共100个,若从这只袋中任取3个球,试问:袋中有个红球时,能使取出的3个球全为同色的概率为最小? (2) 已知 , 求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 构造解析几何模型,巧用结构思想解题 解析几何的实质是从代数的方向求解几何问题,是将数学问题所呈现的几何特征代数化,如果所给的数学问题从表层看与解析几何毫不相关,则可挖掘题中隐藏的结构特点,通过构造解析几何模型,运用距离公式、斜率公式,点到直线距离公式,直线方程的各种形式以及圆锥曲线方程等巧妙地解决许多数学问题. 当然最为重要的是如何对原型加以分析,产生联想,构造出解析几何模型,并通过求解解析几何模型得到原题的解. 模型法解题必须紧紧抓住以下3点: (1)构造的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征; (2)构造的数学模型既能进行理性分析,又要能进行计算和逻辑推理; (3)解答构造的数学模型所获得的结果,一定是原命题的解题目标,并经过检验,对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃. 典型例题 【例1】(1)试求函数的最大值; (2)设为锐角,试比较与的大小. 【分析】 第(1)问,除常规解法外还可以构造几何图形,利用斜率求三角函数最值;第(2)问,可以用作差比较法求解,但涉及三角恒等变形,运算量较大,若能注意到两个表达式都与直线的斜率相关，则可应用斜率的几何意义,通过构造图形求解.这样就简捷多了. 【解析】 (1)设点,点,则表示两点连线的斜率. 点的轨迹方程为即 由于所以有 故点的轨迹为线段 如图2-2所示. 因为,所以, 所以 (2)令, 其几何意义是单位圆上动点与点连线的斜率. 又令, 其几何意义是单位圆上动点与原点连线的斜率,如图所示. 从图形中易得 (1)当时,,即; (2)当时,,即; (3)当时,,即. 【例2】(1)求的最小值； (2)如果函数在区间上单调递减,那么的最大值为( ). A.16 B.18 C. D. 【分析】 第(1)问,观察可知,原问题可转化为求两点 之间的最短距离的平方.第(2)问,初看是二次型函数的单调性问题,由于解析式含双参数,单从函数角度求解是困难的,必须通过对函数图像的讨论得到关于的不等式组,或通过导函数在上恒成立求得约束条件,的最大值转化为线性规划问题,由动直线与曲线相切或由基本不等式求得. 【解析】 (1)观察可知,原问题可以转化为求两点,之间的最短距离的平方.而这两个动点的参数方程依次是和 消去得和. 从而问题进一步转化为求半圆和双曲线上的点之间的最短距离的平方,如图所示.易得. (2)解法一若,则在上单调递减,有; 若,则为开口向上的二次函数,对称轴为,有 若,则为开口向下的二次函数,对称轴为,有.将以上三种情况所得不等式整理即需要满足的约束条件:或或作出可