第07-08讲 构造几何、向量模型, 寻求简捷解法 构造函数,运用函数性质解题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第07讲 构造几何、向量模型, 寻求简捷解法 许多代数形式具有几何图形的特征,许多几何问题通过构造辅助图形变为规则的几 何图形之后,可以巧妙地解决这些问题,使所构造的图形更具操作性,将题设条件及数量 关系直接在图形中展现,然后在构造的图形中寻求问题的结论. 向量集数与形于一体,它沟通了代数、几何与三角函数的内在联系,构造向量模型解 题被称为数形结合的典范, 应用非常广泛,平面向量可以用来求解解析几何中的许多问 题,在解立体几何问题时,运用空间向量法, 可以使解题过程简洁明快,避免了作辅助线、 证明等烦琐过程,通过向量的加(减)法、向量的数量积计算等轻松求解. 典型例题 【例1】 (1) 已知为正数, 且, 证明; (2) 对于正整数,定义为和式的最小值,其中, 是正实数,它们的和是17,存在唯一的正整数,使也是一个正整数,求这个正整数. 【例2】 (1) 已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两相互垂直,则球心到截面的距离为______； (2) 若均为锐角,且满足. 求证:. 【例3】 （1）已知,求的值; （2）求函数的最值; （3）求函数的最小值; （4）设,且,求函数的最小值; （5）若实数满足方程,求代数式的取值范围. 【例4】 如图所示,已知三棱锥的侧棱,两两垂直,且 的中点. (1) 求点到面的距离; (2) 求异面直线与所成的角; (3) 求二面角的大小. 第08讲 构造函数,运用函数性质解题 如果所给出的数学问题从表面上看是非函数问题,但其中有隐含的函数关系,这就要求我们将问题中隐含的函数关系凸显出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解;还有些数学问题尽管函数形态已很明显,由于含有参数,如果问题是求参数的取值范围,按照原有的函数关系很难轻松解决问题,不妨转换思维角度,放弃题设的主参限制,挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,也就是转换函数关系,切入问题的本质,从而解决原问题;更多的是所给的数学问题根本不是函数问题,条件或结论与函数毫不相关,此时也可通过类比、联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数的思想和方法使原问题获解,函数思想在解题中的应用主要 表现在如下两个方面: (1) 借助于初等函数的性质:单调性、奇偶性、周期性解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题. (2) 在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数,其中构造函数关系进而利用函数思想解题是更高层次的体现.构造时,要审时度势,充分发掘原题中可类比、联想的因素,促进思维迁移,一旦构造成功,把研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易化繁为简的目的. 典型例题 【例1】当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . A. B. C. D. 【例2】关于的方程恒有解,求的取值范围. 【例3】求方程的解. 【例4】已知,并且, 求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 构造几何、向量模型, 寻求简捷解法 许多代数形式具有几何图形的特征,许多几何问题通过构造辅助图形变为规则的几 何图形之后,可以巧妙地解决这些问题,使所构造的图形更具操作性,将题设条件及数量 关系直接在图形中展现,然后在构造的图形中寻求问题的结论. 向量集数与形于一体,它沟通了代数、几何与三角函数的内在联系,构造向量模型解 题被称为数形结合的典范, 应用非常广泛,平面向量可以用来求解解析几何中的许多问 题,在解立体几何问题时,运用空间向量法, 可以使解题过程简洁明快,避免了作辅助线、 证明等烦琐过程,通过向量的加(减)法、向量的数量积计算等轻松求解. 典型例题 【例1】 (1) 已知为正数, 且, 证明; (2) 对于正整数,定义为和式的最小值,其中, 是正实数,它们的和是17,存在唯一的正整数,使也是一个正整数,求这个正整数. 【分析】 第(1)问为二元基本不等式及其变形公式,用代数方法证明很简单,下面给出的是构造几何图形来证明, 实质也是不等式的几何解释.第(2)问,形似勾股定理,故可以联想构造一系列的直角三角形来求解. 【解析】 (1) 证明 由于. 可先构造,使得. 此时斜边. 再以为斜边,为直角边构造. 则, 最后,作,过作交于. 如图 所示. 由图形直观得 , 即 . (2) 如图 所示, 作 因为 所以,即, 因为为正整数,且, 所以,所以(舍去负根).即当时,. 【例2】 (1) 已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两相互垂直,则球心到截面的距离为______； (2) 若均为锐角,且满足. 求证:. 【分析】 第(1)问,利用补体方法,把正三棱锥扩展为棱长为2的正方体,以便于从整体上宏观把握,这种方法便是整体构造,目的在于从更广阔的范围内处理局部问题,是一种重要的解题方