第11-12讲 待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝 联用函数与方程思想方法 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第11讲　待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝 在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现. 典型例题 【例1】设抛物线过点和. （1）试用表示和; （２）对于任意非零实数,抛物线都不过点,试求的值. 【例2】（1）已知数列中,,且,求这个数列的通项公式; （2）已知数列中,,求通项公式. 法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第问,一般解法是设待定系数,即由配方,得,令,解得,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养. 【例3】设为实数,函数的最大值为. (1)设,求的取值范围,并把表示为的函数; (2)求; (3)试求满足的所有实数. 【例4】如图所示,设直线与椭圆相切,切点为,点是坐标原点在直线上的正投影,求的最大值和最小值. 第12讲 联用函数与方程思想方法 有些较为复杂的数学问题,解决它常常不止需要一种数学思想,而是多种数学思想方法的联合应用.函数与方程的思想常常和转化与化归的思想联用.特别是函数思想与方程思想就是在不断转换过程中使问题一步步获得解决.转换的途径为“函数→方程→函数”或“方程→函数→方程”,而且在转换过程中不等式知识发挥重要作用.在联用函数与方程思想解题时又常常需要借助函数图像的变换求解. 典型例题 【例1】 (1)设函数则满足的的取值范围是_________; (2)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是_________. 【例2】已知函数,当点在函数图像上时,点在函数图像上. (1)求的表达式; (2)若为图像上的3点,且满足的实数有且只有两个不同的值,求实数的取值范围. 【例3】已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设. (1)求的值; (2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围; (3)方程有3个不同的实数解,求实数的取值范围. 【例4】已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在 处取得极小值,设, (1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值; (2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝 在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现. 典型例题 【例1】设抛物线过点和. （1）试用表示和; （２）对于任意非零实数,抛物线都不过点,试求的值. 【分析】 对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用. 【解析】依题意,解得 (2),将代人,得,整理得. 由题意,关于的方程无非零实数解, 由得;由得. 故所求的值为或. 【例2】（1）已知数列中,,且,求这个数列的通项公式; （2）已知数列中,,求通项公式. 法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第问,一般解法是设待定系数,即由配方,得,令,解得,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养. 【解析】(1)先对递推式进行变形,.即. 设,则.(1) 引人待定系数,使满足. 展开得.(2) 对照(1)式和(2)式,可得方程组解得 即数列是以为首项,3为公比的等比数列, 所以. 于是,. （2）由条件可得.令,则数列可化为两类等差数列,其中是以为首项,为公差;是以为首项,为公差. 因此,. 所以. 故 可简化为. 【例3】设为实数,函数的最大值为. (1)设,求的取值范围,并把表示为的函数; (2)求; (3)试求满足的所有实数. D 【分析】 本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第问实质是解方程,由于是分段的,对于方程解的讨论更要分类全面