第13-14讲 运用函数运用函数与方程思想解三角问题 运用函数与方程思想解数列问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第13讲 运用函数运用函数与方程思想解三角问题 函数与方程的思想方法在解三角问题中的体现主要表现在三角式的求值问题,解斜三角形以及三角函数图像及其性质的研究中,特别是求三角函数最值这类题型常常需要把函数的性质与解方程(组)思想结合起来运用. 典型例题 【例1】若,则. A. B. C. D. 【例2】已知：①，② 求证：. 【例3】已知函数. (1)若当时,的最大值为,最小值为,求实数的值; (2)若,设函数,且当时,恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知两个不共线的向量的夹角为,且为正实数. (1)若与垂直,求; (2)若,求的最小值及对应的值,并指出向量与的位置关系; (3)若为锐角,对于正实数,关于的方程有两个不同的正实数解,且,求的取值范围. 第14讲 运用函数与方程思想解数列问题 数列是定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数,当然离不开对其函数性质如单调性、最大最小项、周期性的研究,数列的通项公式和前项和公式是关于的函数,也可以将其转化为方程或方程组,等差、等比数列中的“知三求二”计算问题也常用解方程(组)的方法求解,运用函数与方程思想解数列问题的题型主要表现在研究数列的最值问题、范围问题以及数列不等式的证明. 典型例题 【例1】在等差数列中,已知,求. 【例2】已知数列满足，且． (1) 求证： (2) 设数列的前项和为，求证： 【例3】已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，对每个正整数，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前项和为，求使得成立的所有正整数的值. 【例4】已知函数的最大值不大于，又当时， （1）求的值； （2）设，证朋： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 运用函数运用函数与方程思想解三角问题 函数与方程的思想方法在解三角问题中的体现主要表现在三角式的求值问题,解斜三角形以及三角函数图像及其性质的研究中,特别是求三角函数最值这类题型常常需要把函数的性质与解方程(组)思想结合起来运用. 典型例题 【例1】若,则. A. B. C. D. 【分析】 在三角求值问题中,运用方程(组)的思想是一种常见的【分析】.本例最为直接的解法是借助公式结合条件,解方程组求得的值,进而求的值;但是若把条件平方,化为的齐次式(利用进行替换)分子分母同除以得关于的一个方程,通过解方程得所求结果,第三种思考方法是因为,而条件是,故可以构造三角方程其中,则易求得的值进而求的值;更为巧妙的是分析题设,其结构符合等差中项的形式,则可构造等差数列解题.构造法思想在本题中可得到充分展示. 【解析】 【解法一】解方程组,故选B. 【解法二】设,则,代人得 解之得,故选B. 【解法三】将两边平方得. 则, 化简得故选. 【解法四】 (其中,则. 即.故选. 【解法五】由于符合等差数列等差中项的形式,故可将原式变形为, 则设. .得,解得.,故选B. 【例2】已知：①，② 求证：. 【分析】 这是一道条件等式的证明题,条件中有角的三角函数,而结论中没有,消去是必由之路,但接下来的三角恒等变形相当复杂,若仔细观察条件等式,巧妙地构造方程,可得到如下的新颖证法.当然读者可以试用常规方法证明此题,并作比较,体会构造方程、利用方程思想解题的妙处. 【解析】 【证法一】 已知条件可变为，.视与为方程的两根,问题转化为证明此方程的两根之差为零. 由于.因此,. 【证法二】 注意到已知条件中的数学关系,则①式就是以3为元的一元二次方程,而②式的左端恰为该方程的判别式,从而可得.则①式变为 当时,由已知条件可得,从而;当时,由②式知方程③有两个相等的实数根, ,即,代人①式得. 【例3】已知函数. (1)若当时,的最大值为,最小值为,求实数的值; (2)若,设函数,且当时,恒成立,求实数的取值范围. 【分析】 第(1)问,为关于的二次函数形式,配方后结合正弦函数的有界性以及对称轴的变动进行分类讨论进而解方程组求之值;第(2)问,可以通过参变分离结合“耐克”函数性质求的取值范围,也可以通过二次不等式在区间上恒成立问题转化为相应二次函数在区间上图像的讨论,两种解法都体现了函数思想且各具特色. 【解析】(1). 当时,. 解得或(舍去)... 当时,解得(舍去,即无解. 综上所述,.. (2)【解法一】. 当时,恒成立, ,令.,则 ,即. 的取值范围是. 【解法二】. 当时,恒成立, 令,则,则在上恒成立. 则即.的取值范围是. 【例4】已知两个不共线的向量的夹角为,且为正实数. (1)若与垂直,求; (2)若,求的最小值及对应的值,并指出向量与的位置关系; (3)若为锐角,对于正实数,关于的方程有两个不同的正实数解,且,求的取值范围. 【分析】 本题是三角与平面向量、函数的