第21-22讲 参数思想解题是个“好念头” 实现数形结合的关键是转化-解析版 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第21讲 参数思想解题是个“好念头” 数学教育家G.波利亚指出：引人辅助元素可“使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉”，是个“好念头”．因此，当问题的条件和结论不易发生关系或关系不明朗时，借助辅助元素---参数为媒介，可使条件和结论联结起来，让问题变得明朗，再进行分析和综合，从而解决问题． 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和末知之间的内在联系，常用参数有：代数中的比值参数、实数参数、代数式参数等（换元法就是引人参数的典型例子）；几何中常用角参数、长度参数等；解析几何中常用斜率参数、坐标参数等． 引进参数的目的是能使问题轻松获解，这是参数法的基本原则．所以，引进参数必须合理，除了要考虑问题中条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论．还应提醒的是原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究的对象，它只起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解． 参数法解题的特点概括起来是：引入参数、参与推导、消去参数、显露结论． 参数思想在解析几何内容占有很重的分量，直线方程、曲线方程的一般形式中的字母系数都可看作参数，参数思想的熏陶与运用是这门学科的重要特色，参数法也是求轨迹方程的重要方法，应给予足够的重视． 典型例题 【例1】（1）已知，且，求的值； （2）已知，，且，为实数，，求的最大值和最小值； （3）实数，满足，设，求的值． 【例2】（1）已知定点，，动点在椭圆上运动，求面积的最大值和最小值； （2）在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求出这个最短距离． 【例3】（1）直线过抛物线的焦点，并且与抛物线交于、两点，求证，对于抛物线的任何给定的一条弦CD，直线不是CD的垂直平分线； （2）如图所示，抛物线：，：，点在抛物线上，过作的切线，切点为，（为原点时，，重合于），当在上运动时，求线段AB中点的轨迹方程（，重合于时，中点为）． 【例4】（1）过点作椭圆的弦，求： ①为弦中点时，弦所在的直线方程； ②为弦三等分点时，弦所在的直线方程． （2）已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于，两点，点在上，． ①当，时，求的面积； ②当时，求的取值范围． 第22讲 实现数形结合的关键是转化 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决问题的 一种重要思想方法, 也是一种智慧的解题技巧,数形结合的思想简言之就是代数问题几何 化, 几何问题代数化,即“以形助数, 以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化, 可以 帮助我们找到解决问题的思路和方法. 由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化则需要转化的意识,因 此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化. 典型例题 【例1】 已知函数 , 若方程 恰有 4 个互异的 实数根, 则实数 的取值范围为____________. 【例2】 在平面内, 定点 满足 , 动点 满足 , 则 的最大值是 . A. B. C. D. 【例3】已知 , 求函数 的最小值. 【例4】设 是定义在 上的两个周期 函数, 的周期为 的周期为 2 , 且 是奇函数. 当 时, , 其中 若在区间 上, 关于 的方程 有 8 个不同的实数根,则 的取值范围是_________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 参数思想解题是个“好念头” 数学教育家G.波利亚指出：引人辅助元素可“使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉”，是个“好念头”．因此，当问题的条件和结论不易发生关系或关系不明朗时，借助辅助元素---参数为媒介，可使条件和结论联结起来，让问题变得明朗，再进行分析和综合，从而解决问题． 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和末知之间的内在联系，常用参数有：代数中的比值参数、实数参数、代数式参数等（换元法就是引人参数的典型例子）；几何中常用角参数、长度参数等；解析几何中常用斜率参数、坐标参数等． 引进参数的目的是能使问题轻松获解，这是参数法的基本原则．所以，引进参数必须合理，除了要考虑问题中条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论．还应提醒的是原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究的对象，它只起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解． 参数法解题的特点概括起来是：引入参数、参与推导、消去参数、显露结论． 参数思想在解析几何内容占有很重的分量，直线方程、曲线方程的一般形式中的字母系数都可看作参数，参数思想的熏陶与运用是这门学科的重要特色，参数法也是求轨迹方程的重要方法，应给予足够的重视． 典型例题 【例1】（