第25-26讲 以形助数两大抓手（利用函数图像，揭示内在几何意义） 以形助数还要抓住形的动态过程 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第25讲 以形助数两大抓手（利用函数图像，揭示内在几何意义） 以形助数,即借助形的直观性来阐明数之间的联系,由数想形时,要注意“形”的准确性,这是数形结合的基础,以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图像;借助单位圆;借助数式的结构特征寻找内在的几何关系;借助于解析几何方法. 以形助数离不开作图,作图既要放眼整体,又要关注局部,特别要关注关键细节处,并 从运动变化的角度观察图形(如解析几何中直线倾斜角与斜率的变化, 直线的截距的变化,点到直线距离的变化等),防止图形选择不当而掩盖问题的本质,防止图形的直观掩藏了深入的理性思考,防止由直观得出的并不一定准确的结论代替严谨论证. 典型例题 【例1】 (1) 对 , 记 则函数 A. 有最大值 , 无最小值 B. 有最大值 , 无最小值 C. 有最小值 , 无最大值 D. 有最小值 , 无最大值 (2) 已知两条直线 和 与函数 的图像从左至右相交于点 与函数 的图像从左至右相交于 ,, 记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 , 当 变化时, 的最小值为 A. B. C. 16 D. 8 【例2】 (1) 求 的最大值与最小值; (2) 已知 , 且 , 求 的最大值与最小值. 【例3】 (1) 已知平面向量 满足 , 且 与 的夹角为 , 则 的取值范围是___________; （2）设抛物线 的焦点为 , 过点 的直线与抛物线相交于 两 点, 与抛物线的准线相交于 , 则 与 的面积之比 A. B. C. D. 【例4】 已知以 为周期的函数 恰有 5 个实数解,则 的取值范围为 A. B. C. D. 第26讲 以形助数还要抓住形的动态过程 静止是相对的,运动才是绝对的,用运动变化.联系的观点来解题是一种重要的解题策略. 在以形助数的解题过程中,图形或图形中的某个元素是按照一定的规律在运动的, 这个动态过程就是解题的关键,抓住形的动态往往可以使问题轻松获解. 【例1】 关于 的方程 只有一个实根,求 的取值范围. 【例2】 关于 的方程 在 内有两相异实根, 求 的取值 范围. 【例3】椭圆 的焦点为 ,点 为其上动点,当 为钝角时,求点 横坐标的取值范围. 【例4】 如图 所示, 四边形 $A B C D$ 是正方形,延长 $C D$ 至 , , 使得 , 若动点 从点 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点 , 其中 , 则下列判断正确的是 1. A. 满足 的点 必为BC $B C$ 的中点 B. 满足 的点有且只有一个 C. 的最大值为 3 D. 的最小值不存在 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 以形助数两大抓手（利用函数图像，揭示内在几何意义） 以形助数,即借助形的直观性来阐明数之间的联系,由数想形时,要注意“形”的准确性,这是数形结合的基础,以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图像;借助单位圆;借助数式的结构特征寻找内在的几何关系;借助于解析几何方法. 以形助数离不开作图,作图既要放眼整体,又要关注局部,特别要关注关键细节处,并 从运动变化的角度观察图形(如解析几何中直线倾斜角与斜率的变化, 直线的截距的变化,点到直线距离的变化等),防止图形选择不当而掩盖问题的本质,防止图形的直观掩藏了深入的理性思考,防止由直观得出的并不一定准确的结论代替严谨论证. 典型例题 【例1】 (1) 对 , 记 则函数 A. 有最大值 , 无最小值 B. 有最大值 , 无最小值 C. 有最小值 , 无最大值 D. 有最小值 , 无最大值 (2) 已知两条直线 和 与函数 的图像从左至右相交于点 与函数 的图像从左至右相交于 ,, 记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 , 当 变化时, 的最小值为 A. B. C. 16 D. 8 【分析】 第 (1)问,对于求分段函数最值问题，可在相应定义域内作出分段函数的图像，借助函数图像直观地得出函数的最大值和最小值或判断无最值.第(2)问考查对数函数图像与性质的综合应用,理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键. 【解析】(1) 函数 是两个函数 与 同一个 取得的两个函数值的较大的值,在同一直角坐标系中作函数 与函数 的图像, 函数 的图像为图中实线部分(如图 所示). 令, 得 或 . 由图像可知,当时，的最小值为 , 故有最小值,，但没有最大值, 故选 . (2) 在同一坐标系中作出 的图像如图 所示, 由 , 得, 得 , 依照题意得 因为 , 所以 , 故 选 . 【例2】 (1) 求