第27-28讲 数形兼顾、相互补充 “构造法”是数形结合的桥梁 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第27讲 数形兼顾、相互补充 数形结合, 即用形研究数,用数研究形, 相互结合, 相互补充,使问题变得直观、简捷、 思路易寻,从形到数主要是指分析图形、发现规律,得到有用结论, 即“识图→用图”;从数到形则是从观察“数”的结构特征入手,联想与想象其几何特征,并由静而动,结合作图以便直观地发现解题思路. 对于某些较为复杂的数学问题必须做到数形兼顾,反复转换,如“数→形→数”或“形→数→形”,甚至有多个反复,交替使用. 典型例题 【例1】已知 , 试比较实数的大小关系. 【例2】 已知集合， 是否存在正整数和使得若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由。 【例3】已知 是定义在区间 上以 2 为周期的函数,对 , 用 表示区间 , 已知当 时, . (1) 求 在 上的解析表达式; (2) 对自然数 , 求集合 使方程 在 上有两个不相等的实数根}. 【例4】过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在 轴上的正射影分别为 , 若梯形 的面积为 , 则 。 第28讲 “构造法”是数形结合的桥梁 实现数形结合,常与以下内容有关: (1)实数与数轴上的点的对应关系; (2)函数与图像的对应关系; (3)曲线与方程的对应关系; (4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的数学概念,如三角函数、向量等; (5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义, 如斜率、截距、距离等. 数转化为形或形转化为数有时并非很容易,常常需要借助“构造法”,即通过 对等式或代数式的分析构造出相匹配的几何图形,通过几何图形相应元素的关系使原问题解决,或从所给的形中提炼出数量关系, 通过运算或推理使原问题解决, 总而言之,“构造法”是数形结合的桥梁. 典型例题 【例1】在平面直角坐标系中, 为原点, , 动点 满足的最大值为 。 【例2】已知均为锐角,有,求证:tanα+tanβ+tanγ≥. 【例3】 (2) 设 都是实数,试求: 的最小值. 【例4】对于具有相同定义域 的函数 和 , 若存在函数 为常数), 对任意的正数 , 存在相应的 , 使得当 且 时, 总有 则称直线 为曲线 与 的“分渐近线”,给出定义域均为 的 4 组函数如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 其中, 曲线 与 存在“分渐近线”的是( ). A. (1)(4) B. (2) (3) C. (2)(4) D. (3)(4) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 数形兼顾、相互补充 数形结合, 即用形研究数,用数研究形, 相互结合, 相互补充,使问题变得直观、简捷、 思路易寻,从形到数主要是指分析图形、发现规律,得到有用结论, 即“识图→用图”;从数到形则是从观察“数”的结构特征入手,联想与想象其几何特征,并由静而动,结合作图以便直观地发现解题思路. 对于某些较为复杂的数学问题必须做到数形兼顾,反复转换,如“数→形→数”或“形→数→形”,甚至有多个反复,交替使用. 典型例题 【例1】 已知 , 试比较实数的大小关系. 【分析】 本例可转化为函数图像与不等式表示的区域，以形助数;然而光靠图形尚不能比较a,b,c的大小，还需要作差比较，即以数辅形.数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用.通过对数与式的运算和变换,将图像的特征及几何关系刻画得更准确、更精细，这样就可以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化、相互作用，最终解决问题. 【解析】 由, 则点 是抛物线 上的点, 由 ,可知是上方的点, 故满足的点应为阴影内的拋物线上除去的点,,这就是数到形的转变的结果(如图所示)。 而的大小关系要用代数的方法解决。 【例2】 已知集合， 是否存在正整数和使得若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由。 【分析】 数形结合的思想简言之就是代数问题几何化、几何问题代数化，充分体现图形的直观性、代数推理的合理性，解题时注意不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，本例的解题策略归结起来就是:数形兼顾求参数值. 【解析】 画出 和 的图像, 它们分别与 轴正半轴相交于点 和 (如图 所示 . 要使 , 就是要直线与上述两条拋物线均无 交点, 这时 而且方程组和均无实数解。 把①代入②得。把③代入④得。 由 得 因此存在正整数 满足 . 【例3】已知 是定义在区间 上以 2 为周期的函数,对 , 用 表示区间 , 已知当 时, . (1) 求 在 上的解析表达式; (2) 对自然数 , 求集合 使方程 在 上有两个不相等的实