第29-30讲 数形结合研究函数的性质 数形结合解不等式 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第29讲 数形结合研究函数的性质 运用数形结合思想解函数问题的着眼点是利用函数图像的直观性. 探求解题途径, 主要体现在利用函数图像研究函数的性质、比较函数值的大小. 求函数的最值以及求参数范围等. 典型例题 【例1】（1）设 均为正数, 且 , 则 从 小到大的排列顺序为 ； (2) 已知函数 的反函数为 , 又方程 与 的实数解分别为 与 , 则 的值为 。 【例2】 (1) 已知函数设,若关于的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是（ ） A. B. C. （2）已知函数 , 设关于 的不等式 的解集为 , 若 , 则实数 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【例3】 【例4】已知函数 在区间 上各有一个极值点. (1) 求 的最大值; (2) 当 时,设函数 在点 处的切线为 , 若 在点 处穿过函数 的图像(即动点在点 附近沿曲线 运动, 经过点 时,从 的一侧进入另一侧 ,求函数 的表达式. 第30讲 数形结合解不等式 运用数形结合思想处理不等式问题,通常是从问题的条件与结论出发,着重分析其几何意义,从图形上找到解题途径. 一般有如下两种方式:一是转化,即将代数式转化为几何式,比如含参数二次绝对值不等式的最值的求法,通过作图很容易找到取得最值的特殊点,从而使问题获解;二是构造,即构造图形或函数, 比如解无理不等式,用代数法运算量大,若通过构造函数从图形解则简捷许多. 利用数形结合思想解不等式的题型还有:解指、对数不等式,与不等式有关的恒成立问题,高次整式或分式不等式以及线性规划问题. 典型例题 【例1】(1) 若不等式 的解集为区间 , 且 , 则 ； (2) 已知函数 是定义在 上的奇函数, 当 时, . 若 , 则实数 的取值范围为 ( ). A. B. C. D. 【例2】设 是实数, 解关于 的不等式 【例3】 ， (2) 已知 , 解不等式 . 【例4】 (1) 变量 满足 (1) 设 , 求 的最大值; (2) 设 , 求 的最小值; 那么 在 取何值时取得最大值,最小值? 最大值、最小值各是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 数形结合研究函数的性质 运用数形结合思想解函数问题的着眼点是利用函数图像的直观性. 探求解题途径, 主要体现在利用函数图像研究函数的性质、比较函数值的大小. 求函数的最值以及求参数范围等. 典型例题 【例1】（1）设 均为正数, 且 , 则 从 小到大的排列顺序为 ； (2) 已知函数 的反函数为 , 又方程 与 的实数解分别为 与 , 则 的值为 。 【分析】 构造相应函数解析式,作出图像,由图像比较值的大小或求相应值之和. 【解析】 （1）由题意分别画出函数 的图像,如图 所示. 可得 . (2) 是方程 的解, 是两函数 与 图像的交点 的横坐标. 同理, 是函数 与 图像的交点 的横坐标. 函数 与 的图像关于直线 对称, 又 都在直线 上, 而且直线 与 垂直, 所以 两点关于直线 对称, 即 两点的纵、横坐标是一种互换关系, 所以点 的坐标为 , 它在直线 上, 如图 所示, , 即 . 【例2】 (1) 已知函数设,若关于的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是（ ） A. B. C. （2）已知函数 , 设关于 的不等式 的解集为 , 若 , 则实数 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【分析】 第(1)问主要考查分段函数与不等式恒成立问题,意在考查化归与转化能力、运算求解能力以及分类讨论思想,在处理含参不等式恒成立问题时,要充分利用函数的图像求解.第(2)问主要考查函数的单调性、二次函数性质,考查数形结合思想、分类讨论思想,解题的关键是将f(x)写成分段函数,再对影响图像开口方向的字母a分类讨论,结合图像将⊆A 转化为关于a的不等式,解之即得结果. 【解析】 (1) 根据题意,作出 的大致图像如图 所示,以函数f(x)的图像之“静”制约函数图像之“动”,函数的图像可由函数的图像经过平移生成.当a<0时向右平移-2a个单位,当a>0时向左平移2a个单位,在平移过程中必须保证函数的图像始终在函数f(x)图像的“下方”(可有重合点),由图像不难发现在移动的过程中f(x)的图