第31-32讲 数形结合解函数零点(方程根)的问题 数形结合解三角问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第31讲 数形结合解函数零点(方程根)的问题 运用数形结合的思想解函数零点(方程根)的问题, 即把函数零点(方程根)的问题通过转化看作两个函数图像交点问题,借助函数图像,采用直观分析的方法,通过研究交点问题来研究、判断或求解函数零点(方程根)的个数以及图像交点横坐标之和, 对于函数零点(方程根)存在的情况下求参数之和,要特别注意相应函数的性质,如奇偶性、单调性、周期性以及图像的对称性在解函数零点(方程根)问题中的作用. 典型例题 【例1】(1) 恰有 2 个互异的实数解,则 的取值范围是 。 (2)则 的取值范围是( ). A. B. D. 【例2】(1)已知函数且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是(　　)． A． B． C． D． (2)定义在上的奇函数，当时，则 关于的函数的所有零点之和为(　　)． A． B． C． D． 【例3】(1)定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有3个零点，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D． (2)设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是________． 【例4】已知是实数，1和一1是函数的两个极值点． (1)求和的值； (2)设函数的导函数，求的极值点； (3)设，其中，求函数的零点的个数． 第32讲 数形结合解三角问题 利用三角函数的图像可以确定解析式中参数的值，研究三角函数的性质可以处理三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、最值以及函数零点的个数等问题． 典型例题 【例1】(1)设，关于的方程有4个实根，则实数的取值范围是________； (2)函数的最大值是，最小值是________； (3)函数的定义域是________． 【例2】求实数的取值范围，使得对于任意，恒有 【例3】(1)若函数)的图像如图所示，求它的解析式、初相、周期与振幅； (2)求函数的周期； （3）设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________． 【例4】（1）在长方体中，求证： (2)设，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 数形结合解函数零点(方程根)的问题 运用数形结合的思想解函数零点(方程根)的问题, 即把函数零点(方程根)的问题通过转化看作两个函数图像交点问题,借助函数图像,采用直观分析的方法,通过研究交点问题来研究、判断或求解函数零点(方程根)的个数以及图像交点横坐标之和, 对于函数零点(方程根)存在的情况下求参数之和,要特别注意相应函数的性质,如奇偶性、单调性、周期性以及图像的对称性在解函数零点(方程根)问题中的作用. 典型例题 【例1】(1) 恰有 2 个互异的实数解,则 的取值范围是 。 (2)则 的取值范围是( ). A. B. D. 【分析】 第(1)问,主要考查函数的零点、利用零点个数求参数的取值范围,考查的核心素养是直观想象和逻辑推理.通常研究方程根的情况,可以通过构造函数,研究函数的单调性、最值、图像的变化趋势等求解.根据题目要求,画出函数图像,通过数形结合思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.本题可以针对x≤0和x>0直接构造分段函数,利用图像法求解,也可以参变分离构造函数结合导数知识及数形结合求解,第(2)问,破解此类题的关键:一是会转化,先把函数的零点问题转化为方程根的问题,再转化为两个函数图像的交点问题;二是会借形解题,即作出两函数的图像,数形结合可快速找到参数所满足的不等式,解不等式即可求出参数的取值范围. 【解析】 (1) 【解法一】 当 时, 由 得 ; 作出直线 与函数 的图像, 如 所示. 若 恰有 2 个互异的实数解,则 且 , 且. 【解法二】 当 时,由 得 令 作出直线 , 函数 的图像如图 所示, 的最大值为 . 若 恰有 2 个互异的实数解, 则 , 得 . 【解法三】 当 时,由 得 , 得，得，得 设，则 由得或，此时递增， 由得，此时递减，即 当时，取得极小值为， 当时，由得，得，得； 当时，方程不成立； 当时，． 设，则， 由得，此时递增， 由得或，此时递诚， 即当时，取得极小值为， 要使恰有2个互异的实数解，则由图知，故答案为． (2) 函数存在2个零点，即关于的方程有2个不同的实根，即函数的图像与直线有2个交点，作出直线与函数的图像，如图所示，由图可知，，解得，故选 【例2】(1)已知函数且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是(　　)． A． B． C． D． (2)定义在上的奇函数，当时，则 关于的