第33-34讲 数形结合解平面向量问题 数形结合解解析几何问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第33讲 数形结合解平面向量问题 向量是既有大小又有方向的量，故向量具有代数和几何的双重身份，向量的引入给传统的数学带来了无限生机和活力，对向量的应用，要注意向量与平面几何的结合、向量与三角函数及解三角形的结合、向量与解析几何的结合及用空间向量解立体几何问题，用向量法解题体现了图形语言与符号语言的相互转换，要注意领悟其中包含的数形结合思想及思维方法． 向量加法的平行四边形(或三角形)法则是运用几何性质解决向量问题的基础，向量的坐标表示及坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，还有诸如向量的模．而向量的夹角、共线与垂直都是“形中觅数、数中寻形”，代数问题几何化、几何问题代数化． 典型例题 【例1】已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点联结并延长到点，使得，则的值为(　　)． A． B． C． D． 【例2】(1)已知的3个顶点的坐标满足如下条件：向量，则的取值范围是， (2)在平面上，，若，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D． 【例3】如图所示，在中，已知，若长为的线段上点为中点，向量与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值． 【例4】(1)已知圆的半径为为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值是________； (2)已知在平行四边形中，，边的长分别为2，1，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是________． 第34讲 数形结合解解析几何问题 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，基本思想是数形结合．利用数形结合思想可以分析直线与圆、圆与圆的位置关系、直线与圆锥曲线位置关系．诸如解析几何中的对称问题，定点、定值问题，最值与范围问题以及轨迹探求等都离不开数形结合思想方法． 典型例题 【例1】（1）直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是________； (2)直线与曲线所表示的曲线有两个公共点，则的取值范围是________； (3)在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 【例2】(1)若椭圆与拋物线有4个公共点，试探讨应满足的关系； （2）若圆与拋物线没有公共点，求实数的取值范围． 【例3】设椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求椭圆方程，并求唨圆上到点的距离为的点的坐标． 【例4】(1)求函数的最大值； (2)设为实数，若，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 数形结合解平面向量问题 向量是既有大小又有方向的量，故向量具有代数和几何的双重身份，向量的引入给传统的数学带来了无限生机和活力，对向量的应用，要注意向量与平面几何的结合、向量与三角函数及解三角形的结合、向量与解析几何的结合及用空间向量解立体几何问题，用向量法解题体现了图形语言与符号语言的相互转换，要注意领悟其中包含的数形结合思想及思维方法． 向量加法的平行四边形(或三角形)法则是运用几何性质解决向量问题的基础，向量的坐标表示及坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，还有诸如向量的模．而向量的夹角、共线与垂直都是“形中觅数、数中寻形”，代数问题几何化、几何问题代数化． 典型例题 【例1】已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点联结并延长到点，使得，则的值为(　　)． A．B．C．D． 【分析】 本例考查平面向量的线性运算和数量积的运算，考查数形结合思想及运算求解能力，可以从不同的角度领会图形中向量运算的几何意义，从而得到多种解法． 【解析】 （1）【解法一】 如图所示， 设根据已知得， 根据已知得， 【解法二】 由向量数量积的几何意义知，为在上的投影与的乘积．如图所示，分别过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，则 ． 【解法三】 如图所示，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则 由得 又，故 【例2】(1)已知的3个顶点的坐标满足如下条件：向量，则的取值范围是， (2)在平面上，，若，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D． 【分析】 第(1)问，点是一个定点，点是一个动点，而，故点在以点为圆心，为半径的圆上运动，可以结合图形求解；第(2)问，根据条件找到相关各点构成的图形，建立平面直角坐标系，运用向量坐标法结合不等式知识求的取值范围． 【解析】 （1）(1)由可知，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 过原点作此圆的切线，切点分别为，如图所示，联结，则向量与的夹角的范围是． 由图可知． 由知， 即． 2）由条件知构成一个矩形，以所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图所示设，点的坐标为，则点的坐标为． 由，得 ① ② 由①②知，故选D． 【例3】如图所示，在中，已知，若长为的线段上点为中点，向量与的夹角取何值时的