第37-38讲 正与反的转化与变换 一般与特殊的转化与变换 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第37讲 正与反的转化与变换 对于某些数学问题， 当从正面思考难以解决时就转向反面思考，当用直接解法不能奏效时就转用间接解法，当命题难以被证明时就转而举反例加以否定，特别是否定性命题， 常要利用正反的相互转化。一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较 少，从反面考虑较简单。 有些命题直接证明难度较大， 正难则反，可以采用反证法。 典型例题 【例1】(1) 求证:方程 有唯一解； (2) 若方程 在 时有解， 求实数 的取值范围。 【例2】是否存在 ， 使得 为等差数列? 【例3】一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中有10个球，从中任意摸出来1个球得到黑球的概率是 ；从中任意摸出 2 个球， 至少得到 1 个白球的概率是求: (1) 从中任意摸出 2 个球，得到的都是黑球的概率； (2) 袋中白球的个数。 【例4】试求实数 的取值范围，使拋物线 的所有弦都不能被直线 垂直平分。 第38讲 一般与特殊的转化与变换 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量关系、结构或部分元素，然后推广到一般情形， 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过程，这就是特殊化的化归策略，当然，在运用特殊与一般的思想方法解题时， 必须认识到一般与特殊的关系是:一般成立，其特殊也成立；一般不成立，其特殊可能成立，也可能不成立；特殊不成立，其一般也不成立；特殊成立，其一般可能成立，也可能不 成立。 这种用极端特殊的考虑解使问题迎刃而解的方法体现了一个数学原理，即极端原理， 数学问题化难为易、化抽象为具体、化繁杂为简单， 化生疏为熟悉等等，都离不开极端原理，这是因为，用一个题目中涉及的对象的极端情形， 去代替这一对象，而保留题目其余内容所得的题目，即是题目的极端情形，它往往比较容易、具体、熟悉， 又由于极端情形的解 与一般情形的解往往有共性。 解极端情形往往会给解一般情形带来启示， 主要体现在如下 七个方面: 1) 设计方案，运用极端原理(特殊情况)奠基， 以特殊情况的解答为基础，进而做出一般情形的解答。 2) 解答问题，运用极端原理(特殊情况)探路，有效地探得解题途径，打通解题思路。 3) 定值问题，先用极端原理 特殊情况)探求，探明定值的数量， 固其具体位置， 从而在 一般情形下加以验证。 4) 穷举问题，运用极端原理筛选，对可能出现的情况或选择题的选择点“筛”和“选”， “筛”就是把一些极端情形的、不满足条件的对象“笑”掉；“选”就是把一些满足条件的对象 (特殊情形)选出(构造出)。 5) 某些规律，运用极端原理(特殊情形)发现。 6) 获得结论对否，运用极端原理(特殊情形或构造反例)检验。 7） 讨论题解，运用极端原理(特殊情形)完善，使题解周密、完善， 不致发生遗漏现象。 典型例题 【例1】 设 ， 求 的值 。 【例2】（1）已知数列 ， 其中 ， 且数列 为等比数列，求常数 ； (2) 设 是公比不相等的两个等比数列， ， 证明: 数列 不是 等比数列。 【例3】 设点 分别是双曲线 的左顶点和右焦点, 点 是双曲线右支上 的动点. (1) 若 是直角三角形,求点 的坐标; (2) 是否存在常数 ,使得 对任意的点 恒成立？ 证明你的结论. 【例4】已知从原点 出发的两条射线 间的夹角为 ， 又在 上分别取点 ， 使之适合关系式: 是一个正数 ， 如图 所示。 求证:直线 恒过定点 ， 并用 和 表示 的长度 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲 正与反的转化与变换 对于某些数学问题， 当从正面思考难以解决时就转向反面思考，当用直接解法不能奏效时就转用间接解法，当命题难以被证明时就转而举反例加以否定，特别是否定性命题， 常要利用正反的相互转化。一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较 少，从反面考虑较简单。 有些命题直接证明难度较大， 正难则反，可以采用反证法。 典型例题 【例1】(1) 求证:方程 有唯一解； (2) 若方程 在 时有解， 求实数 的取值范围。 【分析】 第 问是唯一性命题的证明,直接证明有些困难, 可从反面考虑, 命题的反面是此方程至少有两解,反证法是从反面的角度思考问题的证明方法,属于“间接 证明”的一类. 第 问, 将原方程变形为 . 直接讨论当 时有解求参数 的取值范围, 不易解决. 若设 , 则得关 的二次方程 , 再进行讨论可求 的取值范围, 但显得烦琐. 若两个变元 和 转换一下角式,用 表示 , 可轻松求解, 此谓正难则反,逆向考虑,反客为主. 【解析】 (1) 证明： 设至少有两解 ， 则 另一方面，由 ， 知 ， 这与③