第39-40讲 有限与无限之间的转化与变换 多元与一元的转化与变换 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第39讲 有限与无限之间的转化与变换 有限与无限的思想方法，也是一种思维方法，一种解决数学问题的方法，考试中心对考试大纲的解读中指出:“高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。 比如，在使用由特殊到一 般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问 题，体现的是有限与无限的思想等等。" 中学数学中占有重要地位的极限思想，从中学数学教学角度看， 着重从直观上考查无穷运动，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，形象地展现了有限与无限之间的转化与变换。 典型例题 【例1】在正 棱雉中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。 A． B. C. D. 【例 2】对任何 , 都有（ ）成立. A. B. C. D. 【例 3】 已知抛物线方程 , 试问:在轴正方向上是否必存在一点, 使得对于抛物线上任意一条过的弦 均有 为定值。 【例 4】 设数列 的前 项的和 . (1) 求首项 与通项 ; (2) 设 , 证明 . 第40讲 多元与一元的转化与变换 在一个数学问题中有多个字母或末知数会给解题带来困难,解决问题的方法是想办法消去过多的字母, 从而使问题变得简单, 消元思想就是由一些元素间的已知等量关系, 通过有限次的变换消去其中某些元素, 从而得出其他一些元素之间的等量关系的解题思想,通常用代人、加减,乘除、代换等方法消元, 三角换元法在多元向一元的转化与变换中显示出其特有的功能. 典型例题 【例 1 】已知 , 试求使方程 有解的 的取值范围. 【例 2】 已知 , 求 的取值范围. 【例 3】 设 且 , 求 的取值范围. 【例 4 】(1) 已知实数 满足方程 , 求 的最小值; (2) 若实数 满足方程 , 求代数式 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 有限与无限之间的转化与变换 有限与无限的思想方法，也是一种思维方法，一种解决数学问题的方法，考试中心对考试大纲的解读中指出:“高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。 比如，在使用由特殊到一 般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问 题，体现的是有限与无限的思想等等。" 中学数学中占有重要地位的极限思想，从中学数学教学角度看， 着重从直观上考查无穷运动，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，形象地展现了有限与无限之间的转化与变换。 典型例题 【例1】 在正 棱雉中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。 A． B. C. D. 【分析】 本题考查的是一个有限的图形，即正n棱锥的侧面所成的二面角的问题，但是解决这个问题并不容易，我们可以将有限的问题用无限的方法求解。 【解析】 设正 棱雉的顶点为 ， 底面为 ， 高为 ， 相邻两侧面所成的二面角为 。 考虑顶点 的两个无限趋近的情形: (1) 当顶点 无限趋近于底面 时，正 棱锥无限趋近为底面正 边形，这时，相邻两 侧面所成的二面角无限趋近于平面， 即 ； (2) 当顶点 向上趋近于无限高时，正 棱雉就无限趋近于正 棱柱，这时， 相邻两侧 面所成的二面角为正 边形的内角， 即 。 由以上， 应排除 ， 故选 。 【例 2】对任何 , 都有（ ）成立. A. B. C. D. 【分析】 本题的解答用极限法处理别开生面,易得结论. 因为 值的极端情形是 , 可以发展以 为底数的对数的极端情形. 【解析】 当 时, , 故否定了 A、C、D 的正确性, 选 B. 【例 3】 已知抛物线方程 , 试问:在轴正方向上是否必存在一点, 使得对于抛物线上任意一条过的弦 均有 为定值。 【分析】 若符合条件的点 存在且点 在 轴正方向上,过点 的弦有一个 特殊位置, 这条弦垂直于 轴时, 可以首先以此进行探讨；而且点 还有两个极限位置, 即点 趋近于原点或趋近于无穷远点, 以此探究弦 的状况. 由此可见,对于解答某些数学问题,可以从无限或极端状态的角度去思考, 从而得到数学关系的猜想, 这种猜想往往正是所要寻求的结论. 当然,猜想仍需要在一般情况下加以证明. 【解析】 假设符合条件的点存在,考虑过点的一条特殊的弦—垂直于轴的弦的情形. 设 , 则 但是仅凭此式还看不出点的位置, 再考虑过点的弦的极限情形轴的正半轴, 此时过点 的弦 的一个端点 是原点, 另一个端点可看成是无穷远点, 有 , 则 ,