第41-42讲 常量与变量的转化与变换 相等与不等之间的转化与变换 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第41讲 常量与变量的转化与变换 在处理多元的函数或方程的数学问题时,常常有一个变元处于主导地位,我们称之为主元, 此时可把其他的变元看作常量,按照主元的某种形式对问题进行整理,借以发现问题所隐含的特殊结构, 以便找到相应的策略, 使问题获解. 这是因为,在一些数学问题中,常量与变量具有相对性,通过逆向思考、变换视角、反客为主等, 可使它们相互转化. 像这样一种通过确定主元来探索解题途径的方法, 叫作主元法,一般原则是选次数最低的字母为主元,因为一般来 说,式子或方程的次数越低,越容易处理或求解,但要提醒的是, 定谁为主元要因“题”而宜, “主元法”并非对所有“多元”问题都适用, 有时不分主次地直接操纵“多元”反而是合理的. 典型例题 【例 1】 设不等式 对满足 的一切实数 都成立,求实数 的取 值范围。 【例 2】 设函数 是定义在 上的增函数. （1）若不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围; （2）若不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【例 3】 过圆 内部一点 作动弦 , 过 分别作圆的切线, 设两条 切线的交点为 求证: 点 恒在一条定直线上运动. 【例 4】 如图 所示, 点 在椭圆 上移动, 点 在以点 为圆心, 半径为 的圆上移 动, 当点 位于点 , 点 位于点 时, 两点 距离最近, 记最近距离为 , 求 及 的坐标. 第42汫 相等与不等之间的转化与变换 相等与不等是数学中两个重要的关系,在某种情况下它们可以相互转化, 把不等问题 转化成相等问题,如利用基本不等式、柯西不等式、三角不等式中等号成立的充要条件导 出相等.。又如用两边夹逼导出相等, 即由 和 导出 . 把不等问题转化为相 等问题, 即“不等导等”,综合性强,技巧性高, 可以减少运算量, 提高正确率; 把相等问题转 化为不等问题, 即“等导不等”,能突破难点找到解题的突破口. 典型例题 【例 1 】 (1) 若 是定义在 上的函数, 对任意实数 , 都有 和 , 且 , 则 （ ） (2) 已知 是定义在 上的函数, , 且对任意 都有 (3) 若，求得值 【例 2】 (1) 若 满足关系 , 求 ; （2）设实数 满足 , 求 的最小值. 【例 3】 (1) 中, 分别表示 的对边, 求证: ; （2）已知 为非负数, , 求 的最值. 【例 4】 (1) 设 为正数, , 证明 ; (2) , 求证:对于任意正整数 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 常量与变量的转化与变换 在处理多元的函数或方程的数学问题时,常常有一个变元处于主导地位,我们称之为主元, 此时可把其他的变元看作常量,按照主元的某种形式对问题进行整理,借以发现问题所隐含的特殊结构, 以便找到相应的策略, 使问题获解. 这是因为,在一些数学问题中,常量与变量具有相对性,通过逆向思考、变换视角、反客为主等, 可使它们相互转化. 像这样一种通过确定主元来探索解题途径的方法, 叫作主元法,一般原则是选次数最低的字母为主元,因为一般来 说,式子或方程的次数越低,越容易处理或求解,但要提醒的是, 定谁为主元要因“题”而宜, “主元法”并非对所有“多元”问题都适用, 有时不分主次地直接操纵“多元”反而是合理的. 典型例题 【例 1】 设不等式 对满足 的一切实数 都成立,求实数 的取 值范围。 【分析】 从表层看所给的是关于 的不等式,求的是 的取值范围, 即解不等 式求得 的取值范围. 当然参数 必须满足 , 但是如果通过变更主元转化为关于 的一次函数,根据 的范围确定参数 的范围,这种将主元与参数进行换位思考的解 题策略常常会使问题变得简单易解 【解析】 令 , 则原不等式等价于 在 上恒成立，由于 是关于 的一次函数或常值函数. 故有 解得 . 从而实数 的取值范围是 . 【例 2】 设函数 是定义在 上的增函数. （1）若不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围; （2）若不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【分析】 本例两小题所给的不等式是一样的，首先可利用函数的单调性,把函 数值的相对大小转化为自变量的相对大小,接下来就是确认 和 这两个字母中究竟谁是“主元”,这很重要. 第 问, 把 作为主元(变量)、 作为常量, 这种“反客为主”的解 法,体现了转化与变换的数学思想,降低了计算的烦琐和难度,也说明了变量与常量的对立 统一的㦚证关系. 应当指出,若以 为变量, 为参数,则必定要分类讨论,相比之下孰优孰劣 一清二楚. 第(2)问,以 为变量,把不