第43-44汫 数与形的转化与变换 高维向低维的转化与变换 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第43汫 数与形的转化与变换 在寻找解题思路遇到困难的时候, 不妨通过㧒掘已知条件的内涵, 发现式子的几何意义,利用几何图形的直观性解决问题,若在解题过程中遇到令人望而生畏的繁杂运算,不 妨借助图形去开辟新路;在需要检验结论的正确性时,也不妨借助图形去验证, 这是以形助数的解题策略, 当然构造图形是个技术活, 需要积累,更需要联想, 但是光有以形助数是不够的, 正如华罗庚先生所言:“数无形时少直观,形少数时难人微.”我们还要善于用数解形,借助数量的计算和分析, 使问题的解决严谨化、精确化. 典型例题 【例 1 】设 , 求证: . 【例 2 】已知 为椭圆 内一点, 为椭圆的左焦点, 为椭圆上一动点, 求 的最大值和最小值. 【例 3 】如图 7 - 6 所示, 设抛物线 的焦点为 , 动点 在直线 上运动, 过 作抛物线 的两条切线 , 切点分别 为 , 求证: . 【例4】 均大于零, 且 求证: 。 第44讲 高维向低维的转化与变换 事物的空间形成, 总是表现为不同维数且遵循由低维到高维的发展规律. 把维数、抽象水平较低的或局部的问题转化为维数、抽象水平较高或整体性较强的整体间的关系问题,通过对整体性质或关系的考虑, 而使原问题获得解决的策略即升维策略, 如平面图形通过翻折或旋转成为空间图形就是二维向三维的转化与变换,这种方法也叫升维法. 也可考虑把高维空间的问题转化为低维空间的问题,这种处理问题的方法叫降维法,或称之为 降维策略,如将立体几何问题转化为平面几何问题. 这种把问题由一个领域转换到另一领 域寻求解决之道的解题策略, 在复数行列式与立体几何中应用广泛. 典型例题 【例 1】 曲线 是以原点 为中心, 为焦点的椭圆的一部分; 曲线 是以 为顶 点, 为焦点的抛物线的一部分, 设 是曲线 和 的交点且 为钝 角,若 . （1）求曲线 和 的方程; （2）过 作一条与 轴不垂直的直线, 分别与曲线 依次相交于 这 4 点,若 为 中点, 为 中点,则 是否为定值? 若是, 求出定值;若不是,说明理由. 【例 2 】在 中, , 且 . 动点 使得 成等差数列, 当 最大时, 求 的取值范围. 【例 3】 (1) 如图 所示, 在直三棱柱 中, 底面为直角三角形, 是 上一动点, 则 的最小值是（ ） (2) 如图 7-11 所示, 圆台的上底面半径为 , 下底面半径为 , 母线长为 , 求横截面相对顶点 在圆台侧面上的最短距离. 【例 4 】空间有 4 个球, 它们的半径分别为 , 每个球都与其他 3 个球外切, 另外有 1 个小球与这 4 个球外切,求小球的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43汫 数与形的转化与变换 在寻找解题思路遇到困难的时候, 不妨通过㧒掘已知条件的内涵, 发现式子的几何意义,利用几何图形的直观性解决问题,若在解题过程中遇到令人望而生畏的繁杂运算,不 妨借助图形去开辟新路;在需要检验结论的正确性时,也不妨借助图形去验证, 这是以形助数的解题策略, 当然构造图形是个技术活, 需要积累,更需要联想, 但是光有以形助数是不够的, 正如华罗庚先生所言:“数无形时少直观,形少数时难人微.”我们还要善于用数解形,借助数量的计算和分析, 使问题的解决严谨化、精确化. 典型例题 【例 1 】设 , 求证: . 【分析】 本例用代数法直接证明比较困难,如果能将要证明的不等式构造成相 应的图形,利用图形中的面积关系(局部小于整体)论证,显得直观清晣. 【解析】 【证明 】 如图 所示, 作一个半径为 1, 圆心角为 的扇形 , 且 , 易得 的面积为 . 扇形 的面积为 . 的面积 . 结合图形, 根据局部必小于整体, 明显有: . 【例 2 】已知 为椭圆 内一点, 为椭圆的左焦点, 为椭圆上一动点, 求 的最大值和最小值. 【分析】 求解有关圆雉曲线的最值问题,通常建立函数表达式,利用函数与方 程的思想解决,但有时这种解法不一定行得通, 有时函数表达式很难建立, 即使辛辛苦苦 建立起来, 求最值也难以操作, 这时, 若能结合图形, 考虑用圆雉曲线的定义来解, 有效且 显得特别简单. 【解析】 由 可知 , 左焦点 , 右焦点 , 由椭圆定义知 , 如 图 所 示, 由 , 知 当点 在 的延长线上的点 处时, 取右“ ”; 当点 在 的反向延长线上的点 处时, 取左“ ”, 即 的最大值、最小值分别为 . 于是 的最大值是 , 最小值是 . 【例 3 】如图 7 - 6 所示, 设抛物线 的焦点为 , 动点 在直线