第45-46讲 高次向低次的转化与变换 新知识向旧知识的转化与变换 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第45讲 高次向低次的转化与变换 对于含参数的高次方程, 而参数的次数比较低, 可运用“主元法”,视参数为主元,解参数为主元的方程, 从而达到降次的目的, 再解之,则简单许多,对于高次的分式函数, 可根 据其结构特征采用三角换元法向低次转化才能求解,有些数学题,直接解答难以人手或十分烦琐,特别是复杂的分式问题,利用倒置变换的方法求解, 可化难为易. 【例 1 】若关于 的方程 有 4 个不同的实数解,则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【例 2】 （1）解关于实数 的方程 , 其中 (2) 的 3 个根分别为 , 并且 是不全为零的有理 数,求 的值. 【例 3】 设 , 解关于 的方程 . 【例 4】 函数 的最大值与最小值的乘积等于（ ） 第46讲 新知识向旧知识的转化与变换 新的课程标准指出:“对新颖的信息、情境和设问, 选择有效的方法和手段收集信息、 综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路, 创造性地解决问题.”这就要求学生面对陌生情境, 迅速提取有用信息, 挖掘创 新试题的内涵与本质, 并合理迁移,运用已学的知识加以解决. 典型例题 【例 1】 已知正数 满足 , 则的取值范围是（ ） 【例 2】 （1）设 是两个非空集合, 定义 且 , 已知 , 求 ； （2）对任意实数 , 定义运算“*”如下: 求: 函数 的值域。 【例 3 】对于定义域为 的函数 , 如果存在区间 , 同时满足下列条件: (1) 在 内是单调的; (2) 当定义域是 时, 的值域也是 , 则称 是该函数的“和谐区间”. (1) 判断函数 是否存在“和谐区间”, 并说明理由; (2) 如果 是函数 的一个“和谐区间”,求 的最大值; (3)有些函数有无数个“和谐区间”,如 , 试再举一例 (无须证明). 【例 4 】 求 的最值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 高次向低次的转化与变换 对于含参数的高次方程, 而参数的次数比较低, 可运用“主元法”,视参数为主元,解参数为主元的方程, 从而达到降次的目的, 再解之,则简单许多,对于高次的分式函数, 可根 据其结构特征采用三角换元法向低次转化才能求解,有些数学题,直接解答难以人手或十分烦琐,特别是复杂的分式问题,利用倒置变换的方法求解, 可化难为易. 【例 1 】若关于 的方程 有 4 个不同的实数解,则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【分析】 本题实质是高次方程又是分式方程, 求解的方向必是降次,若能注意 到对任意的 必是原方程的一个根, 则降次就很容易了, 问题顿时得到了简化. 【解析 】 有 4 个实数解, 显然, 是方程的一个解，下面只考虑 情形,且有 3 个实数解即可. 若 , 原方程等价于 , 显然 , 则 .要使该方程有解,必须 , 则 , 此时 , 方程有且必有一解; 则当 时必须有两解, 当 时, 原方程等价于 , 即 , 画出函数图像 如图 所示(注意 且 ), 要使该方程有 两解, 必须 , 解得 , 这也 是上述几种情况的公共部分, 故 为所求,选 C. 【例 2】 （1）解关于实数 的方程 , 其中 (2) 的 3 个根分别为 , 并且 是不全为零的有理 数,求 的值. 【分析】 第 问,直接解关于 的 4 次方程是相当困难的, 但转换 与 的位 置形式,把原方程看作关于 的二次方程,则直接可用十字相乘法再转换为两个关于 的 二次方程, 用求根公式解,因为 是实根,故判别式不能忘. 第 (2)问,找出 三者的关 系可以借鉴二次函数的零点法, 当然也可以直接利用一元三次方程的韦达定理来处理,此 外,如果高次方程有有理根, 那么该有理根应是常数的约数. 【解析】 (1) 原方程可变为关于 的二次方程 , 方程左边利用十字相乘法分解得 , 从而转化为 两个关于 的二次方程 . 解上述两个方程得, 当 时, 原方程有 4 个实根, 当 时, 原方程有两个实根, ; 当 时, 原方程无实根. （2）由题意可设 , 则 , 从而有 若 , 则有 当 时, , 与条件不符, 故 , 从而 若 , 则有 消去 得 . 即 , 也就是 . 由于 是有理数, 而方程 无有理根, 故 , 从而 . 综上: 或 . 【例 3】 设 , 解关于 的方程 . 【分析】 由于原方程是关于 的三次方程,难于直接求解,但是注意到参数 的最高次幂是 2 , 而且题中给定了 的范围,进行