第49-50讲 横向化归解题法 同向化归解题法 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第49讲 横向化归解题法 横向化归就是通过对命题的有关量进行转换, 各学科知识间的转换, 等价变换命题, 运用同构变换等手段将生疏、复杂、困难的问题转化为熟悉、简单的问题来处理. 典型例题 【例 1 】设 且方程 至少有一个实数解,试求 的最小值. 【例 2】 如图 所示, , 边长为 的正三角形 在 内滑动(不能翻转),使得 点始终在 上, 点始终在 上,求 点 的轨迹方程. 【例 3】 在平面直角坐标系 中, 设 是椭圆 上的一个动点,求 的最大值. 第50讲 同向化归解题法 同向化归就是把面临的新问题进行命题分割或命题分解,化归为某一（或几）个可简捷处理的子问题,解决了这一(或几)个子问题, 从而也就解决了所有子问题,或在推演中，进行同理推导同解变形化简等,这种化归是在同一层次上“平行”转化. 典型例题 【例 1】 已知数列 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 , 且 , 设 , 求数列 的前 10 项和. 【例2】 设, 若 , 求使得 成立的 的取值范围. 【例 3 】 一个小于 400 的 3 位数, 它是平方数, 它的前两个数字组成的两位数还是平方数, 其个位数也是一个平方数,求这个 3 位数. 【例4】 设集合 , 又设集合 是关于 的不等式组 的解集，且 , 试确定 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第49讲 横向化归解题法 横向化归就是通过对命题的有关量进行转换, 各学科知识间的转换, 等价变换命题, 运用同构变换等手段将生疏、复杂、困难的问题转化为熟悉、简单的问题来处理. 典型例题 【例 1 】设 且方程 至少有一个实数解,试求 的最小值. 【分析】 本例是一个有实数解的高次方程,求方程系数构成的代数式 的最小值. 从方程角度去解是困难的,但是我们分析方程系数的特点,发现其具有对称性, 且又都是一次的,如果把它看成是 的方程,显然是一条直线的方程;如果设,可看成点 在圆上,则原命题等价变换成直线与圆的位置关系问题,即求直线与圆至少有一个公共点时,半径平方的最小值. 这就是运用同构变换等手段将复杂的高次 方程问题化归为熟悉、容易处理的直线与圆的位置关系问题. 【解析】 因方程至少有一个实数解, 不妨设为 , 代人得 设 , 构造直线 , 圆 . 则两者之间必有公共点 , 因此圆心到直线的距离小于或等于半径, 所以 , 即 的最小值为 , 当且仅当 时 取得最小值 . 【例 2】 如图 所示, , 边长为 的正三角形 在 内滑动(不能翻转),使得 点始终在 上, 点始终在 上,求 点 的轨迹方程. 【分析】 本例中 点在射线 上移动, 点在射线 上移动, 求正三角形 另一个顶点 的轨迹方程,常用的求轨迹方程的基本方法如直接法、转移法、参数法很难 用上,定义法则根本不相关. 对于这类与旋转有关的轨迹问题, 采用复数方法来处理具有 方便、直观,简捷的优点, 因为复数的向量表示把代数与几何融为一体, 复数的乘法运算反 映在几何上正好是向量的旋转. 这种横向化归命题实质上也是同构变换. 【解析】 如图 所示, 以 为原点, 所在直线为 轴建立复平面. 设 点对应的复数分别为 ， 则 , 又 可由 逆时针旋转 而得到. . 又 , 即 , 将①②代人, 整理得: , 故 点的轨迹方程为 在 内的部分. 【例 3】 在平面直角坐标系 中, 设 是椭圆 上的一个动点,求 的最大值. 【分析】 本例思考方法不同导致形成求解过程的多样性, 可以横向化归转化为由方程组有解求 的最大值, 可以利用椭圆的参数方程横向化归为求三角函数的最大值, 也可以纵向化归,通过坐标变换讨论圆与直线有公共点时求 的最大值. 【解析 】 【解法1】由方程组 消去 后整理得方程 ①方程①有实根,则判别式 , 解得 . 的最大值为 【解法2】 椭圆 的参数方程为 为参数，代入 得 , 当 , 即 时, 的最大值为 【解法 3】 对椭圆和直线方程进行如下坐标变换: 令 此时圆方程②和直线③仍有公共点, 则圆②的圆心 到直线 的距离 , 解得 , 故 的最大值为 2 . 第50讲 同向化归解题法 同向化归就是把面临的新问题进行命题分割或命题分解,化归为某一（或几）个可简捷处理的子问题,解决了这一(或几)个子问题, 从而也就解决了所有子问题,或在推演中，进行同理推导同解变形化简等,这种化归是在同一层次上“平行”转化. 典型例题 【例 1】 已知数列 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 , 且 , 设 , 求数列 的前 10 项和. 【分析 】 当我们接触的问题存在着大量可