第51-52讲 逆向化归解题法 互变思想在解题中的运用 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第51讲 逆向化归解题法 人们在处理问题时, 常常按照习惯的思维途径去进行思考,运用习惯的化归方式方法去转化解决问题,但按照这种思考方式或化归方式在很多时候也会出现较繁或较难人手的情形,或出现一些逻辑上的困惑,这时, 从辩证思维的观念出发, 从问题或其中的某个方面的另一面人手进行思考, 例如针对常规处理方法,针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归,采取顺繁则逆、正难则反的适时化归措施, 这就是所谓的逆向化归思想，逆向化归的形式,常有升格(升维、升次、增项、增元、扩域等),倒推、反求、反证、举反例等. 典型例题 【例 1 】 已知 , 求 的值. 【例 2】 解方程: . 【例 3】 若 , 求证: . 【例 4】 已知集合 , 若 , 求实数 的取值范围. 第52讲 互变思想在解题中的运用 矛盾着的东西往往也都互相联系着,不但可以在一定条件下共处于一个统一体中,而 且可以在一定条件下互相转变, 如“熟悉”与“陌生”,“合”与“分”,“正”与“逆”,“动”与 “静”,“进”与退”,“一般”与特殊”,“强化”与“弱化”,“抽象”与“具体”,“直”与“曲”,“主” 与“次”,“整体”与“部分”,“有限”与“无限”,“或然”与“必然”等. 一个事物矛盾的两个方 面, 既是对立又是统一的,更是可以相互转换的, 从哲学上讲既是“一分为二”,又是“合二 为一”, 互变是化归的一种手段, 但比化归更深刻,哲学的意味更浓, 当今学术界倡导的批判性思维,在数学上的体现就是“互变”,就是对立又统一的辩证思想. 关于互变思想在解题中的运用,本书各章都有涉及,在“转化与变换的思想”这一章中 已有多个专题进行论述. 本章及本专题对此稍加拓展,可以这样来表述:互变思想是指在 处理、解决数学问题的过程中有意识地考虑对问题进行相互变化, 从彼此相反的状态、形 式中寻找相互变化的途径. 典型例题 【例 1 】在实数集内解方程: . 【例 2】 在坐标平面 上有一运动着的梯形 , 梯形在 的条件下运动,求原点 到直线 的最短距离. 【例 3】 在 中,求证: . 【例 4】 已知函数 满足: , 且 , 当 时,如果存在正项数列 满足条件： （1）求数列 的通项公式; （2）求证: ; (3) 求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第51讲 逆向化归解题法 人们在处理问题时, 常常按照习惯的思维途径去进行思考,运用习惯的化归方式方法去转化解决问题,但按照这种思考方式或化归方式在很多时候也会出现较繁或较难人手的情形,或出现一些逻辑上的困惑,这时, 从辩证思维的观念出发, 从问题或其中的某个方面的另一面人手进行思考, 例如针对常规处理方法,针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归,采取顺繁则逆、正难则反的适时化归措施, 这就是所谓的逆向化归思想，逆向化归的形式,常有升格(升维、升次、增项、增元、扩域等),倒推、反求、反证、举反例等. 典型例题 【例 1 】 已知 , 求 的值. 【分析 】若直接从条件出发通过变形求 的值, 其运算肯定繁杂,顺繁则逆,如果从 这个所求式出发却易得 , 故逆向化归求解本题较为方便. 【解析】 设 , 两边平方, 得: . 由已知条件可得 . 代换后得 , 即 , 亦即 , 亦即 , 解得 或 (不合题意, 舍 去). 故知 . 【例 2】 解方程: . 【分析】 若直接解此无理方程,运算量相当大, 由根式联想到两点间的距离并 通过升维化归为一个动点到两个定点距离之差,进而联想到双曲线方程,这是一种妙思巧解. 【解析】 原方程可化为 . 令 , 得: 上式表示动点 到 的距离之差为 6 的点的轨迹. 显然是双曲线的左支, 其标准方程为: . 当 时, , 故原方程的解为 . 【例 3】 若 , 求证: . 【分析 】 不论是综合法还是分析法证明此题都很困难,运用反证法即假设结论 的反面即 成立,结合条件 推出与假设予盾, 反证法也是逆向 化归解题法的一种. 【解析 】 【证明 】 假设 . 而取等号的条件为 , 显然不可能, 所以 . 则 , 而 , 故 . 所以 , 从而 , 所以 . 所以 , 所以 . 这与假设矛盾, 故 . 【例 4】 已知集合 , 若 , 求实数 的取值范围. 【分析】 易求得集合 , 而集合 中对应方程 的两个根为 和 若要确定集合 , 则需要对 的取值分类讨论, 同时为使 成立,还要对 或 4 与 或 的大小关系进行分类讨论. 两重讨论甚为烦琐,按照正难则反的解题原则, 从 的反面 方向去思考,适时采取逆向化归措施, 正如德国数学家雅可比(C. G. J. Jacobi, )所言,“运用逆向思维