第53-54讲 特殊化法求解填空题、选择题 运用特殊与一般的辩证关系优化解题方法 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第53讲 特殊化法求解填空题、选择题 一般成立，其特殊也成立; 特殊不成立,其一般也不成立. 依据这一逻辑思维原理,当 填空、选择题的结论唯一或其值为定值时,可把题中参变量用特殊值(或特殊函数、特殊 点、特殊角、特殊数列、特殊图形位置、特殊方程、特殊模型)代替之, 则可得结论, 往往解题 速度快、效果好、正确率高. 特殊化法是一种以退为进的方法,在解答具有一般性的数学问 题时,直接推进有困难或无路可“进”,不妨从一般性的问题退到特殊性的问题上来,利用 问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理获得结果或选项. 典型例题 【例 1 】(1) 在 中, 角 所对的边分别为 , 若 成等差数列, 则 （ ）。 (2) 函数 的值域是 （ ）。 A. B. C. D. （3）函数 的定义域为 , 若 与 都是奇函数,则 . A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数 【例 2】 (1) 已知 和 的夹角为 , 且 , 则 （ ） （2）在直角三角形 中, 点是斜边的中点,点为线段的中点,则 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 (3) 已知二面角 为 , 动点 分别在面 内, 到面 的距离为 , 到面 的距离为 , 则 两点之间距离的最小值为 （ ）. A. B. 2 C. D. 4 【例 3】 (1) 如果奇函数 在 上是增函数且最小值为 5 , 那么 在区间 , 上是 （ ）. A. 增函数且最小值为 B. 减函数且最小值为 C. 增函数且最大值为 D. 减函数且最大值为 （2）在等差数列 中, , 则 （ ） A. 0 B, C. D. (3) 已知 与 均为单位向量, 其夹角为 , 有下列 4 个命题: 其中的真命题是 . A. B. C. D. 【例 4】 (1) 已知双曲线 的渐近线夹角为 , 离心率为 , 则 等于 （ ）。 A. B. C. D. (2) 已知 为异面直线, 为空间的一点,则过 且与 成 角的直线有 （ ）。 A. 3 条 B. 2 条或 3 条 C. 3 条或 4 条 D. 2 条或 3 条或 4 条 （3）正四棱雉相邻侧面所成二面角的平面角为 , 侧面与底面所成二面角的平面角 为 , 则 的值为 （ ）。 A. 1 B. C. 0 D. - 1 第54讲 运用特殊与一般的辩证关系优化解题方法 “一般”概括了“特殊”,“一般”比“特殊”更能反映事物的本质, 因此人们常常把许许多多特殊具体的事物置于一般的普遍的事物中,通过对一般情形的讨论、转换去解决和处理 特殊的问题, 事物的特殊性中包含着普遍性, 即所谓共性存在于个性之中,相对于“一般” 而言,特殊的事物往往更简单,直观、具体,更容易认识, 因而在处理一般性问题时,常常从特殊的情况人手,通过对特殊情况的研究, 找出处理“一般”问题的方案,使“一般”的问题 得到解决,这就是特殊化的解题策略. 特殊化常表现为范围的收缩或限制, 即从较大范围 的问题向较小范围的问题过渡,或从某类问题向其子类问题的过渡. 显然, 较为理想化的 特殊问题是其自身容易解决的,且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法, 所以,特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的、一针见血”的特例. 典型例题 【例 1 】设 , 其中 均为常数, 如果 对所有实数 都成立,求证: 且 . 【例 2】 如图 所示, 椭圆 的 左焦点为 , 右焦点为 , 离心率 , 过点 的直线交椭圆于 两点, 且 的周长 为 8 . (1) 求椭圆 的方程; (2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 , 且与直线 相交 于点 , 试探究:在坐标平面内是否存在定点 , 使得以 为直径的圆恒过点 若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由. 【例 3】 在数列 与 中, , 数列 的前 项和 满足 为 与 的等比中项, . (1) 求 的值; (2) 求数列 与 的通项公式; (3) 设 , 证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第53讲 特殊化法求解填空题、选择题 一般成立，其特殊也成立; 特殊不成立,其一般也不成立. 依据这一逻辑思维原理,当 填空、选择题的结论唯一或其值为定值时,可把题中参变量用特殊值(或特殊函数、特殊 点、特殊角、特殊数列、特殊图形位置、特殊方程、特殊模型)代替之, 则可得结论, 往往解题 速度快、效