第55-56讲 整体与局部 整体代换法 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第55讲 整体与局部 事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用 整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的 结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的 数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整 3 种类型. 典型例题 【例 1 】已知正三棱雉 的高为 , 其内部有一个球与它的 4 个面都相 切,求: （1）正三棱雉 的表面积; （2）正三棱雉 内切球的表面积与体积. 【例 2】 四面体的 6 条棱中, 有 5 条棱长都等于 . （1）求该四面体体积的最大值; （2）当四面体的体积最大时,求其表面积. 【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点 为 斜边 上一点, 且 , 记 . (1) 证明: . (2) 若 , 求 的值. 第56讲 整体代换法 在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称 之为整体代换法. 典型例题 【例 1】 若正数 满足 , 则 的最小值是 （ ）。 A. B. C. 5 D. 6 【例 2】 已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上, 椭圆 上的点到焦点距离的最大 值为 3 , 最小值为 1 . （1）求椭圆 的标准方程; （2）若直线 与椭圆 相交于 两点 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 过定点, 并求出该定点的坐标. 【例】对任意,求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第55讲 整体与局部 事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用 整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的 结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的 数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整 3 种类型. 典型例题 【例 1 】已知正三棱雉 的高为 , 其内部有一个球与它的 4 个面都相 切,求: （1）正三棱雉 的表面积; （2）正三棱雉 内切球的表面积与体积. 【分析】 思考下列启发式问题： (1) 要求正三棱雉内切球的表面积与体积, 公式 与 中需要求 出哪些量? (2) 上一问,显然只要求出球的半径 即可,那么半径 与三棱雉的各棱长或者各个 面有什么联系? 这些互相联系的数量如何求出来? （3）如果用等体积法求解, 那么如何对三棱雉这个整体进行适当分割, 即如何实现整 体与局部之间的转化呢? 【解析】 (1) 如图 所示, 底面三角形中心 到 的距离 则正三棱锥侧面的斜高为 . . 故 . （2）设正三棱锥 的内切球球心为 , 联结 , 而点 到三棱雉的 4 个面的距离都为球的半径 . ，解得 【例 2】 四面体的 6 条棱中, 有 5 条棱长都等于 . （1）求该四面体体积的最大值; （2）当四面体的体积最大时,求其表面积. 【分析】 从整体上求四面体体积,可运用公式 , 但这个 比较难 求,故可寻找四面体的直截面(与侧棱垂直且过一条底边的截面),把这个整体分割为两个 雉体求体积, 再求和,这是一种通解通法. 由于本例涉及最值问题,一般思路是在得到解析 式后利用函数思想或基本不等式进行求解. 【解析】 如图 所示, 在四面体 中, 设 , 取 的中点为 的中点为 , 联结 , 由 平面 可得当且仅当，的最大值为 (2) 由 知 。 【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点 为 斜边 上一点, 且 , 记 . (1) 证明: . (2) 若 , 求 的值. 【分析】 证明 , 即把 看作一个整体, 求出它的值为 0 , 另外, 在解三角形问题时,必须抓住三内角之和为 这一整体. 【解析】 (1) , , 即 . , 即 . (2) 在 中, 由正弦定理得 , , 令 , 则 , 解得 (舍去). . 第56讲 整体代换法 在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称 之为整体代换法. 典型例题 【例 1】 若正数 满足 , 则