第65-66讲 运用分类讨论法解概率问题 运用分类讨论法解解析几何问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第65讲 运用分类讨论法解概率问题 在求古典概型的概率时，涉及“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解,当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解,分类讨论思想还应用于讨论随机变量的取值,进而求离散型随机变量的分布列和数学期望,求解的关键是审清题意，找准分类标准,做到不重不漏. 典型例题 【例1】袋中有3个伍分硬币,3个贰分硬币和4个壹分硬币,从中任取3个,求总分值超过8分的概率. 【例2】某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门只能在黄山、泰山、九寨沟这3个 景区任选1个,假设各部门选择每个景区是等可能的. (1) 求3个景区都有部门选择的概率; (2) 求恰有2个景区有部门选择的概率. 【例3】掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率. 【例4】 某公司计划购买2台机器,该种机器使用340年后即被淘汰,机器有一易损零件，在购进机器时,可以额外购买这种零件作为20备件,每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元,现需.决策在购买机器时应同时购买几个易损.更换的易损零件数零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在3年使用期更换的易损零件数,得到柱状图,如图11- 8所示.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,用X表示2台机器3年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(x≤n)≥0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 第66讲 运用分类讨论法解解析几何问题 含参数的二元二次方程表示曲线类型的判定,求轨迹方程并说明轨迹是什么曲线,从运动变化观点考察图形的变化过程,这些解析几何问题都需要对参数或选择关键节点作为分类标准,运用分类讨论法解题,解决解析几何问题的过程,是不断缩小条件与结论的差异的过程,在由条件向结论不断靠拢的实施过程中,情况的变化不是单一的,必要的分类与整合不可缺少. 典型例题 【例1】已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦 点F的距离为5,则m的值为 ;抛物线方程为 . 【例2】如图所示, 是等腰直角三角形, , 动直线过点与的斜边、直角边分别交于不同的点. (1)设直线的斜率为, 求的取值范围, 并用表示点的坐标; (2)试写出表示的面积的函数解析式, 并求的最大值. 【例3】根据的变化,讨论方程所表示的曲线的形状. 【例4】 已知椭圆的离心率为, 过右焦点的直线与相交于两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为. (1) 求的值; (2) 上是否存在点, 使得当绕转到某一位置时,有成立? 若存在,求出所有的点 的坐标与的方程;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第65讲 运用分类讨论法解概率问题 在求古典概型的概率时，涉及“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解,当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解,分类讨论思想还应用于讨论随机变量的取值,进而求离散型随机变量的分布列和数学期望,求解的关键是审清题意，找准分类标准,做到不重不漏. 典型例题 【例1】袋中有3个伍分硬币,3个贰分硬币和4个壹分硬币,从中任取3个,求总分值超过8分的概率. 【分析】 本题考查学生掌握互斥事件有一个发生的概率的基本概念和基本原理,解题的关键是把“总分值超过8分”这一事件的各种情况罗列清楚. 【解析】 “总分值超过8分”记为事件A,该事件包括下列4种情况: ①取到3个伍分硬币”记为; ②取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”记为; ③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”记为; ④“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”记为 . 则 又彼此两两互斥, 故所求概率为 . 【例2】某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门只能在黄山、泰山、九寨沟这3个 景区任选1个,假设各部门选择每个景区是等可能的. (1) 求3个景区都有部门选择的概率; (2) 求恰有2个景区有部门选择的概率. 【分析】 第(1)问,4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34,由于是任意选择,这些结果出现是等可能的;第(2)问，可以运用对立事件的概率计算，也可以“正面出击”,运用分类讨论的思想方法. 【解析】 (1)由题意,必有2个部门选择同一个景区, 所以3个景区都有部门选择的可能结果为. 记此事件为, 则事件发生的概率为. (1) 记“恰有2个景区有部门选择”为事件个部门都选择1个景区”为事件. 【解法一】 事件的概率为. 事件的概率为. 【解法二】 先从3个景区任意选定2个,共有