3.1.2函数的单调性 学案-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

抚顺德才高级中学 高一年级 数学学科学案 制作人：张雷 备课组长签字： 编号：25 课题 3.1.2函数的单调性（第一课时） 学习目标 1.理解函数单调性的定义，会用符号语言表达函数的单调性. 2.会根据图像写出函数的单调区间.会用定义法证明函数单调性. 3.培养学生数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 德育目标 培养学生学习数学兴趣，树立信心，形成用数学的眼光看世界的习惯。 劳动核心素养目标 培养学生积极探索、坚持不懈的劳动精神. 学习重点 函数单调性的概念；函数单调性的判定与证明. 学习难点 用定义法证明函数单调性. 【主问题的提出】 怎样利用函数单调性的概念判断函数的单调性？ 【主问题的解决】 【情境与问题】我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f（x）. 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 从正比例函数y=2x的图像可以看出，当自变量由小变大时， 这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的_______________； 从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的_______________. 思考1：怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？ 函数的单调性的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且I⊆D： （1）如果对任意，当时，都有，则称在I上是增函数（也称在I上单调递增），如下图（1）所示； （2）如果对任意，当时，都有，则称在I上是减函数（也称在I上单调递减），如下图（2）所示 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 思考2：能否说函数在定义域内是减函数？为什么？ 思考3：（多选）下列命题是真命题的是（ ） A.如果在区间上是增函数，那么在该区间上，自变量减小时，函数值也减少； B.如果在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，那么在上是减函数； C.如果在上是增函数，且，那么当时，； D.如果在上具有单调性，且，那么当时，； 思考4：如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数， 在[-2，1]上是 函数，在[1，3]上是 函数，在[3，6]上是 函数. 在上，的最大值为 ，最小值为 . 【主问题的应用】 例1.求证：函数在R上是减函数. 例2.判断函数的单调性，并求这个函数的最值. 【主问题的深化】 例3.依据函数的单调性的定义，证明函数是递增的. 【困惑】你对本节课的主问题还有哪些困惑？ 劳动最光荣！劳动最崇高！劳动最伟大！劳动最美丽！ 学科网（北京）股份有限公司 $抚顺德才高级中学 高一年级 数学学科学案 制作人：于琦 备课组长签字： 编号：26 课题 3.1.2函数的单调性（2） 学习目标 （1）会用函数的平均变化率判断及证明函数的单调性. （2）培养学生的数形结合意识． （3）培养学生数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 德育目标 培养学生学习数学兴趣，树立信心，形成用数学的眼光看世界的习惯. 劳动核心素养目标 培养学生积极探索、坚持不懈的劳动精神. 学习重点 利用函数的平均变化率判断及证明函数的单调性. 学习难点 对函数的平均变化率与函数的单调性之间关系的理解. 【主问题的提出】我们已经知道如何利用定义来证明函数的单调性，本节课我们的主问题是： 如何利用函数的平均变化率判断及证明函数的单调性？ 【复习回顾】 一般地，设函数的定义域为,且： （1） 如果对任意，当时