专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类 【命题规律】 1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． 2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【核心考点目录】 核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 核心考点二：函数嵌套问题 核心考点三：函数整数解问题 核心考点四：唯一零点求值问题 核心考点五：等高线问题 核心考点六：分段函数零点问题 核心考点七：函数对称问题 核心考点八：零点嵌套问题 核心考点九：函数零点问题之三变量问题 核心考点十：倍值函数 核心考点十一：函数不动点问题 核心考点十二：函数的旋转问题 核心考点十三：构造函数解不等式 核心考点十四：导数中的距离问题 核心考点十五：导数的同构思想 核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 核心考点十七：三次函数问题 核心考点十八：切线问题 核心考点十九：任意存在性问题 核心考点二十：双参数最值问题 核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 4．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 8．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【方法技巧与总结】 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式． 4、分段函数零点的求解与判断方法： （1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5、动态二次函数中静态的值： 解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题． 6、动态二次函数零点个数和分布问题： 通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑． 7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型： （1）对称轴变动，区间固定； （2）对称轴固定，区间变动； （3）对称轴变动，区间也变动． 这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点… 具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．