专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用 【命题规律】 从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想． 【核心考点目录】 核心考点一：函数单调性的综合应用 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用 核心考点三：已知奇函数 核心考点四：利用轴对称解决函数问题 核心考点五：利用中心对称解决函数问题 核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题 核心考点七：类周期函数 核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 核心考点九：函数性质的综合 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【方法技巧与总结】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 【核心考点】 核心考点一：函数单调性的综合应用 【典型例题】 例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用 【典型例题】 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例5．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解