预习案03 空间向量的坐标表示-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）

预习案03空间向量的坐标表示 【学习目标】 1.解空间直角坐标系. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标． 3.掌握空间向量的坐标表示. 4.掌握空间两点间距离公式. 5.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 【基础知识】 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考　空间直角坐标系有什么作用？ 答案　可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 思考　空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案　x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 思考　空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 答案　点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 的坐标也为(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？ 答案　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 思考　已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？ 答案　OA＝||＝. 【典型例题】 一、求空间点的坐标 1．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·北京·高二校考阶段练习）已知点，，则线段AB的中点M的坐标为_________. 二、空间点的对称问题 1．（2022春·吉林长春·高二校考期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·河南信阳·高二统考期中）在空间直角坐标系中，点关于平面yoz对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为___________. 4．（2022春·广西钦州·高二浦北中学校考期中）已知M为轴上一点，且点M到点与点的距离相等，则点M的坐标为_____________. 三、空间向量的坐标运算 1．（2022春·山东烟台·高二统考期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C．