预习案05 空间向量中距离、夹角问题-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）

预习案05空间向量中距离、夹角问题 【学习目标】 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导. 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 3.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 【基础知识】 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点三　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点四　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【典型例题】 一、点到直线的距离 1．（2022春·浙江金华·高二校联考期末）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·安徽宿州·高二安徽省宿州市第二中学校考期末）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）空间中有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2022春·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 1．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高二假期作业）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 4．（2021春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）空间直角坐标系中，四面体的各顶点，，，，则点B到平面的距离是_______________. 5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）在长方体中，，，直线与所成的角为，点为棱的中点，则点到平面的距离为______. 三、两条异面直线所成的角 1．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·河北邢台·高二统考阶段练习）在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高二假期作业）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 四、直线与平面所成的角 1．（2022·全国·高二假期作业）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知平面，则与平面所成角为__________． 3．（2022春·陕西西安·高二校考阶段练习）在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于________