山西省汾阳市育才中学2022-2023学年高二上学期第二次学情检测数学试题

育才中学2022-2023年度高二第二次学情检测 数学试题 出题人：付平 审题人：仲维凯 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 设为等差数列前项和，若，，则 A. B. C. D. 4. 一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图)，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图)，半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例(长度比)为(单位：)，则该建筑的占地面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校计划从名男生和名女生中任选人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件为“至少有名女生参加演讲”，则下列事件中与事件对立的是（ ） A. 恰有名女生参加演讲 B. 至多有名男生参加演讲 C. 恰有名女生参加演讲 D. 至多有名女生参加演讲 6. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 A. B. C. D. 7. 已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（ ） A. B. C. D. 8. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 当时，曲线C为圆 B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为 10. 圆与圆相交于，两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线长为 D. 线段的中垂线方程为 11. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 12. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点（异于椭圆的左、右顶点），，的面积为，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若存在，必有 C. 当时，椭圆的离心率为 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线，直线，若，则实数___． 14. 在上随机地取一个整数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_____________. 15. 若数列的通项公式，则________. 16. 已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率_____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的三个顶点分别为，，， （1）BC边上中线所在直线的方程（D为BC中点）； （2）BC边的垂直平分线的方程； 18. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，BD的中点，点G在CD上，且. （1）求直线EF与直线所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站. （1）为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）根据第（1）问中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率. 20. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列． (1) 证明：；