8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

训练十七　向量的投影与向量数量积的几何意义 [对应素能提升训练第31页] 1.已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影的数量是 （　　） A.－4 B.4 C.－2 D.2 解析　根据投影的数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影的数量是｜a｜cos θ＝＝－4，故选A. 答案　A 2.已知｜b｜＝3，a在b方向上的投影的数量为，则a·b的值为 （　　） A.3 B. C.2 D. 解析　设a与b的夹角为θ，∵｜a｜cos θ＝， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝. 答案　B 3.已知｜a｜＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影的数量为 （　　） A.4 B.4 C.4 D.8＋ 解析　∵｜a｜＝8，e为单位向量，且＜a，e＞＝，由投影的数量的定义得｜a｜cos＜a，e＞＝8×＝4，∴a在e方向上的投影的数量为4. 答案　B 4.已知｜a｜＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影的数量为－2，则a与e的数量积为 （　　） A.8 B.－2 C.4 D.－4 解析　由数量积的几何意义知a·e＝｜e｜｜a｜cos θ＝1×（－2）＝－2. 答案　B 5.已知向量a在b上的投影的数量为－6，｜a｜＝12，则向量a与b的夹角＜a，b＞等于 （　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　依题意｜a｜cos＜a，b＞＝－6，∴cos＜a，b＞＝＝－.又0°≤＜a，b＞≤180°，∴＜a，b＞＝120°. 答案　C 6.已知｜a｜＝2，｜b｜＝10，a与b的夹角为45°，则向量b在向量a方向上的投影向量的模为　　　　.  解析　因为｜a｜＝2，｜b｜＝10，a与b的夹角为45°，所以向量b在向量a方向上的投影向量为｜b｜cos 45°＝10××＝a，所以向量b在向量a方向上的投影向量的模为5. 答案　5 7.已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则｜b｜＝　　　　.  解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴｜a｜｜b｜cos θ＝16.又∵a在b方向上的投影的数量为4，∴｜a｜·cos θ＝4，∴｜b｜＝4. 答案　4 8.在△ABC中，已知｜｜＝5，｜｜＝4，｜｜＝3，求： （1）·； （2）在方向上的投影的数量； （3）在方向上的投影的数量. 解　∵｜｜＝5，｜｜＝4，｜｜＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. （1）·＝－·＝－5×4×＝－16. （2）｜｜cos＜，＞＝＝＝. （3）｜｜cos＜，＞＝＝ ＝＝－4. 9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，且·＝5，求｜｜. 解　∵正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，∴AE＝. ∵·＝5， ∴在上的投影的数量为.如题图所示，连接EF， 由两个向量数量积的几何意义可知EF⊥AE. 由E是BC中点， 易知点F是靠近C点的四等分点，∴｜｜＝. 10.已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有 （　　） ①e1在e2上的投影为cos θ；②e1·e2＝1；③＝；④（e1＋e2）⊥（e1－e2）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　e1在e2上的投影是一个向量，故①不正确.e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos＜e1，e2＞＝cos θ，故②不正确.＝｜e1｜2＝1，e＝｜e2｜2＝1，故③正确.如图所示，设＝e1，＝e2，作平行四边形ABCD，则ABCD为菱形.则＝e1＋e2，＝e1－e2.∵⊥，∴（e1＋e2）⊥（e1－e2），故④正确. 答案　B 11.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a＋b｜的最小值是　　　　，最大值是　　　　.  解析　∵｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，∴｜a＋b｜min＝1，｜a＋b｜max＝3. 答案　1　3 12.若｜a｜＝4，｜b｜＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影的数量为　　　　.  解析　a在b方向上的投影的数量为｜a｜cos＜a，b＞＝4×cos 30°＝2. 答案　2 13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： （1）在方向上的投影的数量； （2）在方向上的投影的数量. 解　如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形.又D是边BC的中点， 所以AD⊥BC，∠ABD＝45°， 所以BD＝2. 延长AB到E，则与的夹角为 ∠DBE＝180°－45°＝135°. （1）在方向上的投影的数量为 ｜｜cos 135°＝4×＝－2. （2）在方向上的投影的数量为 ｜｜cos 135°＝2×＝－2. 14.已知正方形