8.2.4 三角恒等变换的应用（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

训练二十五　三角恒等变换的应用 [对应素能提升训练第47页] 1.设α是第二象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，则cos ＝ （　　） A.－ B. C. D.－ 解析　因为α是第二象限角，且sin ＜cos ，所以为第三象限角，所以cos ＜0.因为tan α＝－，所以cos α＝－，所以cos ＝－ ＝－. 答案　A 2.设3π＜α＜4π，cos ＝m，那么cos 等于 （　　） A. B.－ C.－ D. 解析　由于cos ＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π＜α＜4π，所以＜＜π.所以cos ＜0.所以cos ＝－ . 答案　B 3.4sin 80°－＝ （　　） A. B.－ C. D.2－3 解析　原式＝4cos 10°－＝＝＝－. 答案　B 4.若α∈，则 － 等于 （　　） A.cos α－sin α B.cos α＋sin α C.－cos α＋sin α D.－cos α－sin α 解析　因为α∈，则sin α＜0，cos α＞0， 所以 － ＝－＝cos α－（－sin α）＝cos α＋sin α. 答案　B 5.在△ABC中，若B＝45°，则cos Asin C的取值范围是 （　　） A.[－1，1] B. C. D. 解析　在△ABC中，B＝45°，所以cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝[sin B－sin（A－C）]＝－sin（A－C），因为－1≤sin（A－C）≤1，所以≤cos Asin C≤，故选B. 答案　B 6.化简：－2＝　　　　.  解析　原式＝－2＝2｜cos 4｜－2｜sin 4＋cos 4｜，因为π＜4＜，所以sin 4＜0，cos 4＜0，sin 4＋cos 4＜0. 所以原式＝－2cos 4＋2（sin 4＋cos 4）＝2sin 4. 答案　2sin 4 7.已知α∈，sin α＝，则sin ＝　　　　.  解析　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－， 所以sin ＝ ＝ ＝. 答案　 8.已知2sin x＝cos x. （1）求sin2x－sin xcos x的值； （2）若π＜x＜2π，求tan 的值. 解　（1）由2sin x＝cos x，得tan x＝， 则sin2x－sin xcos x＝＝＝－. （2）tan x＝⇒tan2＋4tan －1＝0， 得tan ＝－2±， 由π＜x＜2π及tan x＝＞0得π＜x＜， 则＜＜，∴tan ＝－2－， 或由π＜x＜2π及tan x＝＞0得π＜x＜， 从而sin x＝－，cos x＝－， tan ＝＝＝＝ ＝－2－. 9.已知π＜α＜，化简：＋. 解　原式＝＋. 因为π＜α＜，所以＜＜， 所以cos ＜0，sin ＞0. 所以上式＝＋ ＝－＋＝－cos . 10.在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是 （　　） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　∵C＝π－（A＋B）， ∴sin C＝sin（A＋B）＝， ∴2sin cos ＝， ∴2cos2＝1，即cos（A＋B）＝0， ∴A＋B＝，∴C＝. 故此三角形为直角三角形. 答案　C 11.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成﹐且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息，可求得cos 324°的值为 （　　） A. B.－ C. D. 解析　在等腰△ABC中，cos 72°＝＝， ∴cos 324°＝cos 36°＝ ＝ ＝. 答案　A 12.已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则等于 （　　） A. B. C. D. 解析　sin θ－cos θ＝－， 平方得1－sin 2θ＝，∴sin 2θ＝. ∵θ∈，∴2θ∈， ∴cos 2θ＝＝， ＝ ＝＝. 答案　D 13.求下列各式的值： （1）sin 40°（tan 10°－）； （2）. 解　（1）sin 40°（tan 10°－） ＝ ＝ ＝＝＝＝－1. （2） ＝ ＝＝－tan 15°＝－tan（45°－30°） ＝－＝－＝－2＋. 14.已知函数f（x）＝2cos2（ω1x－π）＋cos，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求f（0）； （2）若存在x∈，使得f（x）－a≤0，求a的最小值. 条件①：ω1＝1，ω2＝1； 条件②：ω1＝1，ω2＝2. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 解　（1）f（0）＝2cos2（－π）＋cos＝2＋0＝2. （2）选择条件①， f（x）＝2cos2（x－π）＋cos＝2cos2x－sin x